Examkin

Soru

Zorluk: ZorTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bir sigorta şirketinde aktüer olarak çalışan bir uzman, belirli bir hasar türüne ait ödenecek tazminat tutarlarını XX rassal değişkeni ile modellemektedir. Veriler üzerinde yapılan ön analizler sonucunda, tazminat tutarlarının ortalaması ile standart sapmasının birbirine eşit olduğu varsayılmıştır. Bu duruma uygun olarak XX değişkeninin X∼N(θ,θ2)X \sim N(\theta, \theta^2), θ>0\theta > 0 normal dağılımına sahip olduğu kabul edilmiştir.

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bu dağılımdan alınan bağımsız ve aynı dağılımlı bir örneklem olmak üzere, modelin ortak yeterli istatistiği T=(∑i=1nXi,∑i=1nXi2)T = \left(\sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2\right) olarak bulunmuştur.

Bu modelleme ve yeterli istatistik TT dikkate alındığında, tamlık (completeness) özelliği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Dağılım kavisli (curved) bir üstel aile oluşturduğundan doğal parametre uzayı açık bir küme içermez; beklenen değeri sıfır olan TT'ye bağlı sıfırdan farklı fonksiyonlar bulunabildiği için TT tam (complete) değildir.Cevap
  2. B
    Dağılım üstel aile formunda ifade edilebildiğinden, üstel ailelerin genel özellikleri gereğince TT istatistiği tamdır ve Lehmann-Scheffe teoremi doğrudan uygulanabilir.
  3. C
    Dağılımın tanım kümesi bilinmeyen θ\theta parametresine bağlı olmadığı için, Neyman çarpanlara ayırma teoremi ile elde edilen TT istatistiği otomatik olarak tamlık koşulunu da sağlar.
  4. D
    TT istatistiği kullanılarak θ\theta parametresi için yansız bir tahmin edici elde edilebildiğinden, yansızlık özelliği TT'nin tam bir istatistik olmasını matematiksel olarak zorunlu kılar.
  5. E
    TT istatistiği iki bileşenli olduğu ve tahmin edilecek parametre tek boyutlu (θ\theta) olduğu için TT minimal yeterli istatistik değildir, bu nedenle tam (complete) olması mümkün değildir.

Cevap

Dağılım kavisli (curved) bir üstel aile oluşturduğundan doğal parametre uzayı açık bir küme içermez; beklenen değeri sıfır olan TT'ye bağlı sıfırdan farklı fonksiyonlar bulunabildiği için TT tam (complete) değildir.
Normal dağılımın N(θ,θ2)N(\theta, \theta^2) varyantı, parametre uzayı doğal parametre uzayında iki boyutlu bir açık küme içermeyen (bir parabol eğrisi oluşturan) kavisli (curved) bir üstel ailedir. Bu durumda üstel aileler için tamlık teoremi uygulanamaz. Ayrıca, E[c⋅Xˉ2−S2]=0E[c \cdot \bar{X}^2 - S^2] = 0 olacak şekilde sıfırdan farklı ve sadece TT'ye bağlı fonksiyonlar türetilebildiği için TT istatistiği tam (complete) değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu yazarak üstel aile yapısını ve doğal parametreleri belirlemek.
f(x;θ)f(x;\theta) üstel aile formuna getirildiğinde kanonik (doğal) parametrelerin η1=−1/(2θ2)\eta_1 = -1/(2\theta^2) ve η2=1/θ\eta_2 = 1/\theta olduğu görülür.
Dağılımın tam boyutlu mu yoksa kavisli (curved) bir üstel aile mi olduğunu tespit etmek için doğal parametre uzayına bakılır.
2
Doğal parametre uzayının özelliklerini ve tamlık teoreminin geçerliliğini incelemek.
η1=−1/2⋅η22\eta_1 = -1/2 \cdot \eta_2^2 ilişkisi olduğu için parametre uzayı R2\mathbb{R}^2'de açık bir küme içermez, sadece bir parabol eğrisi üzerindedir.
Üstel ailelerde yeterli istatistiğin tam (complete) olabilmesi için parametre uzayının açık bir küme içermesi gerekir. Bu kavisli (curved) üstel ailede teorem uygulanamaz.
3
TT'ye bağlı olup beklenen değeri sıfır olan fonksiyonların varlığını test etmek.
E[nn+1Xˉ2]=θ2E[\frac{n}{n+1}\bar{X}^2] = \theta^2 ve E[S2]=θ2E[S^2] = \theta^2 olduğundan, g(T)=nn+1Xˉ2−S2≠0g(T) = \frac{n}{n+1}\bar{X}^2 - S^2 \neq 0 fonksiyonunun beklenen değeri sıfırdır.
Beklenen değeri her zaman sıfır olan ancak kendisi sıfırdan farklı olan bir g(T)g(T) fonksiyonu bulunabildiğinden TT istatistiği tam (complete) değildir.

Anahtar Kavram

Kavisli Üstel Ailelerde Tamlık (Completeness in Curved Exponential Families)
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bu konudan daha fazla soru