Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bir sanayi tesisinde üretilen elektronik bileşenlerin kullanım ömürleri (saat cinsinden) XX rassal değişkeni ile temsil edilmektedir. XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu θ>0\theta > 0 parametresi ile şu şekilde verilmiştir:

f(x;θ)=x2e−x/θ2θ3,x>0f(x; \theta) = \frac{x^2 e^{-x/\theta}}{2\theta^3}, \quad x > 0

Bu kitle içinden nn birimlik bir rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) seçildiği varsayıldığında, θ\theta parametresi için tam (complete) ve yeterli (sufficient) olan istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_iCevap
  2. B
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2
  3. C
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i
  4. D
    max⁡(X1,X2,…,Xn)\max(X_1, X_2, \dots, X_n)
  5. E
    ∑i=1nln⁡(Xi)\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

Cevap

Gözlemlerin toplamı olan ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i istatistiği θ\theta için tam ve yeterli istatistiktir.
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu Gamma dağılımı ailesine aittir. Üstel aile formuna sokulduğunda, parametreye (θ\theta) bağlı olan üstel terimin içinde gözlemlere bağlı olan kısmın t(x)=xt(x)=x olduğu görülür. Teorem gereği, gözlemlerin toplamı olan ∑Xi\sum X_i bu dağılım için yeterli bir istatistiktir. Ayrıca parametre uzayı θ>0\theta > 0 olduğu için bu bir düzenli üstel ailedir ve bu istatistik aynı zamanda tamdır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile formunda düzenleyin.
f(x;θ)=exp⁡[2ln⁡(x)−ln⁡(2)−3ln⁡(θ)−1θx]f(x; \theta) = \exp[2\ln(x) - \ln(2) - 3\ln(\theta) - \frac{1}{\theta}x]
Üstel aile formuna dönüştürmek, yeterli ve tam istatistiği doğrudan görmeyi sağlar.
2
Fonksiyondaki bileşenleri (h(x)h(x), w(θ)w(\theta), t(x)t(x)) tanımlayın.
h(x)=x22h(x) = \frac{x^2}{2}, w(θ)=−1θw(\theta) = -\frac{1}{\theta} ve t(x)=xt(x) = x
Üstel aile teoremi gereği T=∑t(Xi)T = \sum t(X_i) istatistiği yeterli istatistiktir.
3
Tamlık özelliğini ve parametre uzayını kontrol edin.
Parametre uzayı Θ=(0,∞)\Theta = (0, \infty) bir açık küme içerdiğinden T=∑XiT = \sum X_i tamdır.
Düzenli üstel ailelerde, parametre uzayı açık bir aralık içeriyorsa yeterli istatistik aynı zamanda tamdır.

Anahtar Kavram

Düzenli üstel ailelerde (Regular Exponential Families), f(x;θ)=h(x)c(θ)exp⁡[w(θ)t(x)]f(x; \theta) = h(x)c(\theta)\exp[w(\theta)t(x)] formundaki dağılımlar için T=∑t(Xi)T = \sum t(X_i) istatistiği hem yeterli hem de tamdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bu konudan daha fazla soru