Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir laboratuvar ortamında gözlemlenen özel bir hücre popülasyonu, durum uzayı S={0,1,2,… }S = \{0, 1, 2, \dots\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci ile modellenmektedir. Sistemde nn adet hücre bulunduğu anda;

- Yeni bir hücrenin üreme (doğum) hızı: λn=n+2n+1λ(n≥0)\lambda_n = \frac{n+2}{n+1} \lambda \quad (n \ge 0)
- Mevcut bir hücrenin yok olma (ölüm) hızı: μn=nn+1μ(n≥1)\mu_n = \frac{n}{n+1} \mu \quad (n \ge 1)

şeklinde tanımlanmıştır (burada λ,μ>0\lambda, \mu > 0 sabitlerdir).

Sistemin kararlı duruma (steady-state) ulaşabilmesi için λ<μ\lambda < \mu koşulu sağlandığına ve ρ=λμ\rho = \frac{\lambda}{\mu} olduğuna göre, kararlı durumda sistemde hiç hücre bulunmama olasılığı (P0P_0) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (1−ρ)31+ρ\frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}Cevap
  2. B
    1−ρ1-\rho
  3. C
    (1−ρ)2(1-\rho)^2
  4. D
    1+ρ(1−ρ)3\frac{1+\rho}{(1-\rho)^3}
  5. E
    (1−ρ)3(1-\rho)^3

Cevap

Sistemde hiç hücre bulunmama olasılığı P0=(1−ρ)31+ρP_0 = \frac{(1-\rho)^3}{1+\rho} formülü ile ifade edilir.
Doğru yanıt olan (1−ρ)31+ρ\frac{(1-\rho)^3}{1+\rho} ifadesi, duruma bağlı karmaşık geçiş hızlarına sahip doğum-ölüm sürecinin tam analitik çözümüdür. Doğum oranının λi\lambda_i, ölüm oranının μi+1\mu_{i+1} olduğu denge denkleminde λiμi+1=ρ(i+2)2(i+1)2\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} = \rho \frac{(i+2)^2}{(i+1)^2} oranı elde edilir. Bu oranın i=0i=0'dan n−1n-1'e kadar ardışık çarpımı Pn=P0(n+1)2ρnP_n = P_0(n+1)^2\rho^n sonucunu verir. ∑Pn=1\sum P_n = 1 eşitliğinden ∑n=0∞(n+1)2ρn\sum_{n=0}^\infty (n+1)^2\rho^n sonsuz serisinin hesaplanması gerekir. Geometrik serinin ardışık türevleriyle bu toplam 1+ρ(1−ρ)3\frac{1+\rho}{(1-\rho)^3} olarak bulunur. Ters çevrildiğinde P0P_0 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğum-ölüm süreçleri için kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini yazın.
Pn=P0∏i=0n−1λiμi+1(n≥1)P_n = P_0 \prod_{i=0}^{n-1} \frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} \quad (n \ge 1)
Sürekli zamanlı bir Markov zincirinde her bir durum için giriş ve çıkış hızlarının eşitliğinden elde edilen genel çözüm formülüdür.
2
Verilen λi\lambda_i ve μi+1\mu_{i+1} ifadelerini çarpım formülünde yerine koyun ve sadeleştirin.
λiμi+1=i+2i+1λi+1i+2μ=(i+2i+1)2ρ\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} = \frac{\frac{i+2}{i+1}\lambda}{\frac{i+1}{i+2}\mu} = \left(\frac{i+2}{i+1}\right)^2 \rho. Çarpım sonucunda ardışık terimler birbirini götürür ve Pn=P0(n+1)2ρnP_n = P_0 (n+1)^2 \rho^n elde edilir.
Hızların birbirine oranı karesel bir artış sergilemektedir; bu oranların çarpımı baştaki ve sondaki terimler haricinde sadeleşmeyi sağlar.
3
Toplam olasılık kuralını (∑n=0∞Pn=1\sum_{n=0}^\infty P_n = 1) uygulayarak seri toplamını oluşturun.
P0∑n=0∞(n+1)2ρn=1P_0 \sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 \rho^n = 1
Sistemin herhangi bir durumda bulunma olasılıklarının toplamı 1'e eşit olmalıdır.
4
∑n=0∞xn=11−x\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} temel geometrik serisinden faydalanarak S=∑n=0∞(n+1)2ρnS = \sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 \rho^n toplamını hesaplayın.
Temel serinin iki kez ardışık türevi alınıp düzenlendiğinde S=1+ρ(1−ρ)3S = \frac{1+\rho}{(1-\rho)^3} bulunur.
İçinde polinomiyel çarpan (n+1)2(n+1)^2 barındıran serilerin toplamı, üretici fonksiyonların (generating functions) türevleri yardımıyla analitik olarak hesaplanabilir.
5
P0⋅S=1P_0 \cdot S = 1 eşitliğinden P0P_0'ı yalnız bırakın.
P0=1S=(1−ρ)31+ρP_0 = \frac{1}{S} = \frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}
Kararlı durumda boş kalma olasılığı, serinin toplam değerinin çarpmaya göre tersine eşittir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Denge Denklemleri ve Olasılık Üretici Fonksiyonlar
Bu soruyu puanla

Konular

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru