Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir e-Devlet veri merkezinde, vatandaşların işlemlerini yürüten ana sunucuların durumu sürekli zamanlı bir Markov zinciri (CTMC) olarak modellenmiştir. X(t)X(t) rastgele değişkeni, tt anında sistemde bulunan arızalı sunucu sayısını göstermektedir. Sistemin kapasitesine göre arızalı sunucu sayısı en fazla 22 olabilmektedir ve bu nedenle durum uzayı S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} olarak belirlenmiştir.

Bu sisteme ait geçiş oranları matrisi (infinitesimal generator, QQ) saat cinsinden aşağıdaki gibi verilmiştir:

Q=[−4403−5206−6] Q = \begin{bmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 3 & -5 & 2 \\ 0 & 6 & -6 \end{bmatrix}

Buna göre, sistem uzun dönem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, sistemde tam olarak 11 adet arızalı sunucu bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0
  2. B
    15\frac{1}{5}
  3. C
    13\frac{1}{3}
  4. 1225\frac{12}{25}Cevap
  5. E
    34\frac{3}{4}

Cevap

Sistemde tam olarak 1 adet arızalı sunucu bulunma olasılığı 1225\frac{12}{25}'tir.
Sistem kararlı durumda πQ=0\pi Q = 0 dengesini sağlar. Durum olasılıklarını π0\pi_0 cinsinden yazarsak, birinci sütun denkleminden π1=43π0\pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0 ve üçüncü sütun denkleminden π2=49π0\pi_2 = \frac{4}{9}\pi_0 elde edilir. Bu olasılıkların toplamı 1'e eşitlendiğinde 25π0/9=125\pi_0 / 9 = 1 eşitliğinden π0=925\pi_0 = \frac{9}{25} bulunur. Bizden istenen 1 arızalı sunucu durumunun olasılığı ise π1=43×925=1225\pi_1 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum (steady-state) denklemlerini kurmak
πQ=0\pi Q = 0 ve π0+π1+π2=1\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 eşitlikleri yazılır.
Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde uzun dönem olasılıkları, Chapman-Kolmogorov eşitliklerinin sınır durumu olan Kolmogorov ileri denklemlerinin kararlı durumda sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.
2
QQ matrisinin ilk sütununu kullanarak birinci denklemi çözmek
−4π0+3π1=0  ⟹  π1=43π0-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0 \implies \pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0
Bilinmeyen olasılıkları tek bir referans değişken (π0\pi_0) cinsinden ifade etmek için denklem sadeleştirilir.
3
QQ matrisinin üçüncü sütununu kullanarak ikinci denklemi çözmek
2π1−6π2=0  ⟹  π2=13π1=13(43π0)=49π02\pi_1 - 6\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{1}{3}\pi_1 = \frac{1}{3}\left(\frac{4}{3}\pi_0\right) = \frac{4}{9}\pi_0
π2\pi_2 olasılığı da π0\pi_0 cinsinden ifade edilerek tüm değişkenler birbiriyle ilişkilendirilir.
4
Bulunan ifadeleri toplam olasılık denkleminde yerine koymak
π0+43π0+49π0=1  ⟹  π0(9+12+49)=1  ⟹  259π0=1  ⟹  π0=925\pi_0 + \frac{4}{3}\pi_0 + \frac{4}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0\left(\frac{9+12+4}{9}\right) = 1 \implies \frac{25}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{9}{25}
Bir sistemde tüm olası durumların bulunma olasılıkları toplamı 1 olmak zorundadır.
5
İstenen π1\pi_1 olasılığını hesaplamak
π1=43×925=1225\pi_1 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25}
Soru bizden sistemde tam olarak 1 arızalı sunucu bulunma durumu olan π1\pi_1'i istemektedir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları

Alternatif Yöntem

Bu CTMC aynı zamanda bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) olduğu için matris işlemleri yerine doğrudan 'yerel denge' (local balance) denklemleri kullanılabilir. Sadece komşu durumlar arasındaki geçişleri eşitleyerek: 4π0=3π14\pi_0 = 3\pi_1 ve 2π1=6π22\pi_1 = 6\pi_2 çok daha hızlı elde edilir ve sonuca gidilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru