Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir uluslararası havalimanının gümrük kontrol noktasında, yolcu bagajlarını inceleyen x-ray cihazlarının aktif çalışma durumu, S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci (doğum-ölüm süreci) olarak modellenmiştir. Burada durumlar, o an aktif olarak çalışan cihaz sayısını ifade etmektedir.

Sistemin sonsuz küçüklükteki geçiş oranları matrisi (Q-matrisi), saat cinsinden aşağıdaki gibi verilmiştir:

Q=[−4403−8506−6] Q = \begin{bmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 3 & -8 & 5 \\ 0 & 6 & -6 \end{bmatrix}

Buna göre, sistem uzun dönem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, gümrük noktasında hiçbir cihazın çalışmadığı (durum 0) zamanın oransal beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2053\frac{20}{53}
  2. B
    13\frac{1}{3}
  3. 931\frac{9}{31}Cevap
  4. D
    1031\frac{10}{31}
  5. E
    29\frac{2}{9}

Cevap

Sistem uzun dönem kararlı duruma ulaştığında, hiçbir cihazın çalışmadığı zamanın oransal beklenen değeri 931\frac{9}{31}'dir.
Sürekli zamanlı bir Markov sürecinde (CTMC) kararlı durum olasılıkları, πQ=0\pi Q = 0 ve ∑πi=1\sum \pi_i = 1 denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur. Q matrisinin sütunları üzerinden denge denklemleri yazıldığında; 0. sütun için −4π0+3π1=0-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0, dolayısıyla π1=43π0\pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0 olur. 2. sütun için 5π1−6π2=05\pi_1 - 6\pi_2 = 0, buradan π2=56π1=109π0\pi_2 = \frac{5}{6}\pi_1 = \frac{10}{9}\pi_0 elde edilir. Toplam olasılık π0(1+129+109)=1\pi_0 (1 + \frac{12}{9} + \frac{10}{9}) = 1 denkleminden π0=931\pi_0 = \frac{9}{31} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sürekli zamanlı Chapman-Kolmogorov (Kolmogorov ileri) denklemlerinin limit durumu olan global denge denklemlerinin ( πQ=0\pi Q = 0 ) yazılması
−4π0+3π1=0  ⟹  π1=43π0-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0 \implies \pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0 ve 5π1−6π2=0  ⟹  π2=56π1=56(43π0)=109π05\pi_1 - 6\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{5}{6}\pi_1 = \frac{5}{6}\left(\frac{4}{3}\pi_0\right) = \frac{10}{9}\pi_0 eşitlikleri elde edilir.
Kararlı durum (steady-state) olasılık vektörü π=[π0,π1,π2]\pi = [\pi_0, \pi_1, \pi_2], Q-matrisinin sol özvektörü olarak πQ=0\pi Q = 0 şartını sağlamak zorundadır.
2
Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) şartının uygulanması
π0+π1+π2=1  ⟹  π0+129π0+109π0=1  ⟹  319π0=1  ⟹  π0=931\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 \implies \pi_0 + \frac{12}{9}\pi_0 + \frac{10}{9}\pi_0 = 1 \implies \frac{31}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{9}{31} bulunur.
Sistem her an bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır, dolayısıyla tüm durumların kararlı durum olasılıkları toplamı kesinlikle 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları ve Q-Matrisi
Bu soruyu puanla

Konular

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru