Examkin

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

17 soru

Soru 1Soru →

Bir veri işleme merkezinde, gelen veri paketleri kapasitesi en fazla 3 paket olan bir tampon bellekte (buffer) tutulmaktadır. Sistemdeki paket sayısına bağlı olarak geliş ve işlenme hızları değişmektedir.

Sistemdeki paket sayısı nn (n=0,1,2,3n = 0, 1, 2, 3) olmak üzere;
- Sisteme yeni paket gelişleri Poisson sürecine uygun olup, geliş hızları sırasıyla λ0=4\lambda_0 = 4, λ1=3\lambda_1 = 3 ve λ2=2\lambda_2 = 2 paket/milisaniye olarak verilmiştir (λ3=0\lambda_3 = 0).
- Paketlerin işlenme süreleri üstel dağılıma sahip olup, işlenme hızları sırasıyla μ1=1\mu_1 = 1, μ2=2\mu_2 = 2 ve μ3=4\mu_3 = 4 paket/milisaniye şeklindedir (μ0=0\mu_0 = 0).

Buna göre, sistem uzun dönem dengede (kararlı durumda) iken, tampon belleğin tamamen dolu olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 314\frac{3}{14}

Cevap

Sistemin tamamen dolu olma olasılığı 314\frac{3}{14}'tür.
Sistem, durum uzayı S={0,1,2,3}S = \{0, 1, 2, 3\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellenebilir. Kararlı durumda her ardışık durum çifti için denge denklemleri πnμn=πn−1λn−1\pi_n \mu_n = \pi_{n-1} \lambda_{n-1} olarak kurulur. Verilen hız değerleri yerine konulduğunda olasılıklar π0\pi_0 cinsinden ifade edilebilir: π1=4π0\pi_1 = 4\pi_0, π2=6π0\pi_2 = 6\pi_0 ve π3=3π0\pi_3 = 3\pi_0. Toplam olasılığın 1 olma koşulu uygulandığında, π0(1+4+6+3)=1\pi_0(1 + 4 + 6 + 3) = 1 eşitliğinden π0=1/14\pi_0 = 1/14 elde edilir. Bizden tampon belleğin tam dolu olduğu n=3n=3 durumu istendiği için π3=3π0=3/14\pi_3 = 3\pi_0 = 3/14 olarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğum-ölüm süreci için kararlı durum (dengede) denklemlerini yazın.
Genel formül: πnμn=πn−1λn−1\pi_n \mu_n = \pi_{n-1} \lambda_{n-1} (n=1,2,3n = 1, 2, 3)
Sistem uzun dönemde dengeye ulaştığında, ardışık durumlar arasındaki geçiş hızları birbirine eşitlenmelidir.
2
Tüm durum olasılıklarını π0\pi_0 cinsinden ifade edin.
π1=λ0μ1π0=41π0=4π0\pi_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}\pi_0 = \frac{4}{1}\pi_0 = 4\pi_0
π2=λ1μ2π1=32(4π0)=6π0\pi_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2}\pi_1 = \frac{3}{2}(4\pi_0) = 6\pi_0
π3=λ2μ3π2=24(6π0)=3π0\pi_3 = \frac{\lambda_2}{\mu_3}\pi_2 = \frac{2}{4}(6\pi_0) = 3\pi_0
Olasılıkları tek bir bilinmeyene (π0\pi_0) indirgemek, toplam olasılık şartını kullanarak çözüme gitmeyi sağlar.
3
Toplam olasılığın 1'e eşit olması şartını kullanarak π0\pi_0 değerini bulun.
∑i=03πi=1  ⟹  π0+4π0+6π0+3π0=1  ⟹  14π0=1  ⟹  π0=114\sum_{i=0}^{3} \pi_i = 1 \implies \pi_0 + 4\pi_0 + 6\pi_0 + 3\pi_0 = 1 \implies 14\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{1}{14}
Bir sistemin alabileceği tüm olası durumların (0, 1, 2 ve 3) olasılıklarının toplamı mutlaka 1 olmak zorundadır.
4
Tamamen dolu olma (n=3) durumunun olasılığını hesaplayın.
π3=3π0=3×114=314\pi_3 = 3\pi_0 = 3 \times \frac{1}{14} = \frac{3}{14}
Soruda kapasitenin tamamen dolduğu, yani tampon bellekte 3 paketin bulunduğu durumun olasılığı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde (CTMC) Doğum-Ölüm Süreçleri ve Kararlı Durum Olasılıkları
Soru 2Soru →

Bir laboratuvar ortamında gözlemlenen özel bir hücre popülasyonu, durum uzayı S={0,1,2,… }S = \{0, 1, 2, \dots\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci ile modellenmektedir. Sistemde nn adet hücre bulunduğu anda;

- Yeni bir hücrenin üreme (doğum) hızı: λn=n+2n+1λ(n≥0)\lambda_n = \frac{n+2}{n+1} \lambda \quad (n \ge 0)
- Mevcut bir hücrenin yok olma (ölüm) hızı: μn=nn+1μ(n≥1)\mu_n = \frac{n}{n+1} \mu \quad (n \ge 1)

şeklinde tanımlanmıştır (burada λ,μ>0\lambda, \mu > 0 sabitlerdir).

Sistemin kararlı duruma (steady-state) ulaşabilmesi için λ<μ\lambda < \mu koşulu sağlandığına ve ρ=λμ\rho = \frac{\lambda}{\mu} olduğuna göre, kararlı durumda sistemde hiç hücre bulunmama olasılığı (P0P_0) aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (1−ρ)31+ρ\frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}

Cevap

Sistemde hiç hücre bulunmama olasılığı P0=(1−ρ)31+ρP_0 = \frac{(1-\rho)^3}{1+\rho} formülü ile ifade edilir.
Doğru yanıt olan (1−ρ)31+ρ\frac{(1-\rho)^3}{1+\rho} ifadesi, duruma bağlı karmaşık geçiş hızlarına sahip doğum-ölüm sürecinin tam analitik çözümüdür. Doğum oranının λi\lambda_i, ölüm oranının μi+1\mu_{i+1} olduğu denge denkleminde λiμi+1=ρ(i+2)2(i+1)2\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} = \rho \frac{(i+2)^2}{(i+1)^2} oranı elde edilir. Bu oranın i=0i=0'dan n−1n-1'e kadar ardışık çarpımı Pn=P0(n+1)2ρnP_n = P_0(n+1)^2\rho^n sonucunu verir. ∑Pn=1\sum P_n = 1 eşitliğinden ∑n=0∞(n+1)2ρn\sum_{n=0}^\infty (n+1)^2\rho^n sonsuz serisinin hesaplanması gerekir. Geometrik serinin ardışık türevleriyle bu toplam 1+ρ(1−ρ)3\frac{1+\rho}{(1-\rho)^3} olarak bulunur. Ters çevrildiğinde P0P_0 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğum-ölüm süreçleri için kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini yazın.
Pn=P0∏i=0n−1λiμi+1(n≥1)P_n = P_0 \prod_{i=0}^{n-1} \frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} \quad (n \ge 1)
Sürekli zamanlı bir Markov zincirinde her bir durum için giriş ve çıkış hızlarının eşitliğinden elde edilen genel çözüm formülüdür.
2
Verilen λi\lambda_i ve μi+1\mu_{i+1} ifadelerini çarpım formülünde yerine koyun ve sadeleştirin.
λiμi+1=i+2i+1λi+1i+2μ=(i+2i+1)2ρ\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} = \frac{\frac{i+2}{i+1}\lambda}{\frac{i+1}{i+2}\mu} = \left(\frac{i+2}{i+1}\right)^2 \rho. Çarpım sonucunda ardışık terimler birbirini götürür ve Pn=P0(n+1)2ρnP_n = P_0 (n+1)^2 \rho^n elde edilir.
Hızların birbirine oranı karesel bir artış sergilemektedir; bu oranların çarpımı baştaki ve sondaki terimler haricinde sadeleşmeyi sağlar.
3
Toplam olasılık kuralını (∑n=0∞Pn=1\sum_{n=0}^\infty P_n = 1) uygulayarak seri toplamını oluşturun.
P0∑n=0∞(n+1)2ρn=1P_0 \sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 \rho^n = 1
Sistemin herhangi bir durumda bulunma olasılıklarının toplamı 1'e eşit olmalıdır.
4
∑n=0∞xn=11−x\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} temel geometrik serisinden faydalanarak S=∑n=0∞(n+1)2ρnS = \sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 \rho^n toplamını hesaplayın.
Temel serinin iki kez ardışık türevi alınıp düzenlendiğinde S=1+ρ(1−ρ)3S = \frac{1+\rho}{(1-\rho)^3} bulunur.
İçinde polinomiyel çarpan (n+1)2(n+1)^2 barındıran serilerin toplamı, üretici fonksiyonların (generating functions) türevleri yardımıyla analitik olarak hesaplanabilir.
5
P0⋅S=1P_0 \cdot S = 1 eşitliğinden P0P_0'ı yalnız bırakın.
P0=1S=(1−ρ)31+ρP_0 = \frac{1}{S} = \frac{(1-\rho)^3}{1+\rho}
Kararlı durumda boş kalma olasılığı, serinin toplam değerinin çarpmaya göre tersine eşittir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Denge Denklemleri ve Olasılık Üretici Fonksiyonlar
Soru 3Soru →

Devlete ait bir gümrük limanında, aynı anda en fazla 22 geminin yanaşabileceği bir rıhtım bulunmaktadır. Limana gemi gelişleri, günde ortalama 33 gemi olacak şekilde Poisson sürecine uygun olarak gerçekleşmektedir. Rıhtımdaki her bir yanaşma peronunun bir gemiye verdiği hizmet süresi ise, günde ortalama 22 gemiye hizmet verilecek şekilde üstel dağılıma sahiptir.

Rıhtım tam kapasite dolu olduğunda, limana yeni gelen gemiler sisteme alınmadan (bekleme yapmadan) doğrudan başka bir limana yönlendirilmektedir.

Buna göre, bu liman sisteminin uzun dönemde (kararlı durumda) tam kapasite dolu olma (gelen gemilerin yönlendirilme) olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 929\frac{9}{29}

Cevap

Doğru cevap 929\frac{9}{29} olasılığıdır.
Sistem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak tasarlandığında, denge denklemleri kesit prensibine göre çözülür. μ2=4\mu_2 = 4 olduğu dikkate alınarak olasılıklar π0\pi_0 cinsinden ifade edildiğinde, limanın tam kapasite çalışma olasılığı olan π2\pi_2, tüm durumların ağırlıklı toplamına oranlanarak 929\frac{9}{29} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sistemi durum uzayı S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modelleyin.
Durum sayısı limandaki gemi sayısını ifade eder. Sistem tam kapasiteye ulaştığında (22 gemi) yeni gelenler geri çevrildiği için durum uzayı 22 ile sınırlıdır.
Kapasite kısıtı olan sistemlerde Markov zinciri sonlu durum uzayına sahip bir doğum-ölüm süreci (Erlang B kayıp modeli) oluşturur.
2
Her durum için doğum (geliş) ve ölüm (hizmet) hızlarını belirleyin.
Geliş hızları: λ0=3\lambda_0 = 3, λ1=3\lambda_1 = 3. Hizmet hızları: μ1=2\mu_1 = 2 ve her iki peron aynı anda hizmet verdiğinde μ2=2×2=4\mu_2 = 2 \times 2 = 4.
Hizmet hızı, sistemdeki gemi sayısına (aktif sunucu sayısına) bağlı olarak artar. İki gemi varken sistemden çıkış hızı iki katına çıkar.
3
Kararlı durum (steady-state) için denge denklemlerini (πnλn=πn+1μn+1\pi_{n} \lambda_n = \pi_{n+1} \mu_{n+1}) kurun.
Durum 0-1 arası: 3π0=2π1  ⟹  π1=32π03\pi_0 = 2\pi_1 \implies \pi_1 = \frac{3}{2}\pi_0. Durum 1-2 arası: 3π1=4π2  ⟹  π2=34π13\pi_1 = 4\pi_2 \implies \pi_2 = \frac{3}{4}\pi_1. π2\pi_2'yi π0\pi_0 cinsinden yazarsak: π2=34(32π0)=98π0\pi_2 = \frac{3}{4}(\frac{3}{2}\pi_0) = \frac{9}{8}\pi_0.
Uzun dönemde herhangi bir nn durumundan n+1n+1 durumuna geçiş hızı, n+1n+1 durumundan nn durumuna geri dönüş hızına eşit olmalıdır.
4
Olasılıkların toplamının 11 olması kuralını kullanarak π0\pi_0 ve ardından istenen π2\pi_2 olasılığını hesaplayın.
π0+π1+π2=1  ⟹  π0(1+128+98)=1  ⟹  π0(298)=1  ⟹  π0=829\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 \implies \pi_0 (1 + \frac{12}{8} + \frac{9}{8}) = 1 \implies \pi_0 (\frac{29}{8}) = 1 \implies \pi_0 = \frac{8}{29}. Buradan π2=98×829=929\pi_2 = \frac{9}{8} \times \frac{8}{29} = \frac{9}{29} bulunur.
Sistem uzun dönemde mutlaka bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Denge Denklemleri ve Erlang Kayıp Modeli
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →

Bir bakanlığın Elektronik Belge Yönetim Sistemi'nde (EBYS), e-imza onayı bekleyen acil belgelerin sayısı, durum uzayı S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci olarak modellenmektedir.

Sisteme yeni belge geliş oranları durum sayısına göre sırasıyla λ0=4\lambda_0 = 4 belge/saat ve λ1=2\lambda_1 = 2 belge/saat olarak belirlenmiştir. Onay makamının belgeleri inceleyip sistemden düşme (hizmet) oranları ise sistemdeki belge sayısına bağlı olarak μ1=3\mu_1 = 3 belge/saat ve μ2=4\mu_2 = 4 belge/saat şeklindedir. Sistem en fazla 22 acil belgeyi bekletebilmektedir (λ2=0\lambda_2 = 0).

Buna göre, uzun dönemde (kararlı durumda) sistemde hiç e-imza onayı bekleyen belge bulunmama olasılığı (P0P_0) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13\frac{1}{3}

Cevap

Kararlı durumda sistemde hiç belge bulunmama olasılığı 13\frac{1}{3}'tür.
Doğum-ölüm süreçlerinde kararlı durum (steady-state) olasılıkları, ardışık durumlar arasındaki geçiş oranlarının dengelenmesi prensibine dayanır. P1=λ0μ1P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 ve P2=λ1μ2P1P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1 eşitlikleri kurularak tüm durumlar P0P_0 cinsinden ifade edilir. Bulunan P1=43P0P_1 = \frac{4}{3} P_0 ve P2=23P0P_2 = \frac{2}{3} P_0 değerleri, ∑Pi=1\sum P_i = 1 şartında yerine konulduğunda P0(1+43+23)=1P_0(1 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3}) = 1 denklemi elde edilir. Buradan sistemin boş olma olasılığı P0=13P_0 = \frac{1}{3} olarak doğru şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Denge denklemlerini (balance equations) kurma
Pn=λn−1μnPn−1P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1} formülü ile durumlar arası ilişkiler tanımlanır.
Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreçlerinde kararlı durum olasılıklarını birbirine bağlamak için gereklidir.
2
P1P_1 ve P2P_2'yi P0P_0 cinsinden ifade etme
P1=43P0P_1 = \frac{4}{3} P_0 ve P2=24P1=12(43P0)=23P0P_2 = \frac{2}{4} P_1 = \frac{1}{2} (\frac{4}{3} P_0) = \frac{2}{3} P_0 bulunur.
Tüm olasılıkları tek bir bilinmeyen (P0P_0) üzerinden yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek içindir.
3
Toplam olasılık kuralını uygulama
P0+P1+P2=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 denkleminde değerler yerine konur: P0+43P0+23P0=1P_0 + \frac{4}{3} P_0 + \frac{2}{3} P_0 = 1.
Sistemin herhangi bir durumda bulunma olasılıklarının toplamı kesinlikle 1 olmalıdır.
4
P0P_0 değerini çözme
P0(1+63)=1  ⟹  3P0=1  ⟹  P0=13P_0 (1 + \frac{6}{3}) = 1 \implies 3 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{3} olarak hesaplanır.
Sistemin boş olduğu (hiç belge bulunmayan) durumun nihai olasılığına ulaşmak içindir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

Bir uluslararası havalimanının gümrük kontrol noktasında, yolcu bagajlarını inceleyen x-ray cihazlarının aktif çalışma durumu, S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci (doğum-ölüm süreci) olarak modellenmiştir. Burada durumlar, o an aktif olarak çalışan cihaz sayısını ifade etmektedir.

Sistemin sonsuz küçüklükteki geçiş oranları matrisi (Q-matrisi), saat cinsinden aşağıdaki gibi verilmiştir:

Q=[−4403−8506−6] Q = \begin{bmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 3 & -8 & 5 \\ 0 & 6 & -6 \end{bmatrix}

Buna göre, sistem uzun dönem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, gümrük noktasında hiçbir cihazın çalışmadığı (durum 0) zamanın oransal beklenen değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 931\frac{9}{31}

Cevap

Sistem uzun dönem kararlı duruma ulaştığında, hiçbir cihazın çalışmadığı zamanın oransal beklenen değeri 931\frac{9}{31}'dir.
Sürekli zamanlı bir Markov sürecinde (CTMC) kararlı durum olasılıkları, πQ=0\pi Q = 0 ve ∑πi=1\sum \pi_i = 1 denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur. Q matrisinin sütunları üzerinden denge denklemleri yazıldığında; 0. sütun için −4π0+3π1=0-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0, dolayısıyla π1=43π0\pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0 olur. 2. sütun için 5π1−6π2=05\pi_1 - 6\pi_2 = 0, buradan π2=56π1=109π0\pi_2 = \frac{5}{6}\pi_1 = \frac{10}{9}\pi_0 elde edilir. Toplam olasılık π0(1+129+109)=1\pi_0 (1 + \frac{12}{9} + \frac{10}{9}) = 1 denkleminden π0=931\pi_0 = \frac{9}{31} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sürekli zamanlı Chapman-Kolmogorov (Kolmogorov ileri) denklemlerinin limit durumu olan global denge denklemlerinin ( πQ=0\pi Q = 0 ) yazılması
−4π0+3π1=0  ⟹  π1=43π0-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0 \implies \pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0 ve 5π1−6π2=0  ⟹  π2=56π1=56(43π0)=109π05\pi_1 - 6\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{5}{6}\pi_1 = \frac{5}{6}\left(\frac{4}{3}\pi_0\right) = \frac{10}{9}\pi_0 eşitlikleri elde edilir.
Kararlı durum (steady-state) olasılık vektörü π=[π0,π1,π2]\pi = [\pi_0, \pi_1, \pi_2], Q-matrisinin sol özvektörü olarak πQ=0\pi Q = 0 şartını sağlamak zorundadır.
2
Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) şartının uygulanması
π0+π1+π2=1  ⟹  π0+129π0+109π0=1  ⟹  319π0=1  ⟹  π0=931\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 \implies \pi_0 + \frac{12}{9}\pi_0 + \frac{10}{9}\pi_0 = 1 \implies \frac{31}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{9}{31} bulunur.
Sistem her an bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır, dolayısıyla tüm durumların kararlı durum olasılıkları toplamı kesinlikle 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları ve Q-Matrisi
Soru 6Soru →

Bir e-Devlet veri merkezinde, vatandaşların işlemlerini yürüten ana sunucuların durumu sürekli zamanlı bir Markov zinciri (CTMC) olarak modellenmiştir. X(t)X(t) rastgele değişkeni, tt anında sistemde bulunan arızalı sunucu sayısını göstermektedir. Sistemin kapasitesine göre arızalı sunucu sayısı en fazla 22 olabilmektedir ve bu nedenle durum uzayı S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} olarak belirlenmiştir.

Bu sisteme ait geçiş oranları matrisi (infinitesimal generator, QQ) saat cinsinden aşağıdaki gibi verilmiştir:

Q=[−4403−5206−6] Q = \begin{bmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 3 & -5 & 2 \\ 0 & 6 & -6 \end{bmatrix}

Buna göre, sistem uzun dönem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, sistemde tam olarak 11 adet arızalı sunucu bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1225\frac{12}{25}

Cevap

Sistemde tam olarak 1 adet arızalı sunucu bulunma olasılığı 1225\frac{12}{25}'tir.
Sistem kararlı durumda πQ=0\pi Q = 0 dengesini sağlar. Durum olasılıklarını π0\pi_0 cinsinden yazarsak, birinci sütun denkleminden π1=43π0\pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0 ve üçüncü sütun denkleminden π2=49π0\pi_2 = \frac{4}{9}\pi_0 elde edilir. Bu olasılıkların toplamı 1'e eşitlendiğinde 25π0/9=125\pi_0 / 9 = 1 eşitliğinden π0=925\pi_0 = \frac{9}{25} bulunur. Bizden istenen 1 arızalı sunucu durumunun olasılığı ise π1=43×925=1225\pi_1 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum (steady-state) denklemlerini kurmak
πQ=0\pi Q = 0 ve π0+π1+π2=1\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 eşitlikleri yazılır.
Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde uzun dönem olasılıkları, Chapman-Kolmogorov eşitliklerinin sınır durumu olan Kolmogorov ileri denklemlerinin kararlı durumda sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.
2
QQ matrisinin ilk sütununu kullanarak birinci denklemi çözmek
−4π0+3π1=0  ⟹  π1=43π0-4\pi_0 + 3\pi_1 = 0 \implies \pi_1 = \frac{4}{3}\pi_0
Bilinmeyen olasılıkları tek bir referans değişken (π0\pi_0) cinsinden ifade etmek için denklem sadeleştirilir.
3
QQ matrisinin üçüncü sütununu kullanarak ikinci denklemi çözmek
2π1−6π2=0  ⟹  π2=13π1=13(43π0)=49π02\pi_1 - 6\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{1}{3}\pi_1 = \frac{1}{3}\left(\frac{4}{3}\pi_0\right) = \frac{4}{9}\pi_0
π2\pi_2 olasılığı da π0\pi_0 cinsinden ifade edilerek tüm değişkenler birbiriyle ilişkilendirilir.
4
Bulunan ifadeleri toplam olasılık denkleminde yerine koymak
π0+43π0+49π0=1  ⟹  π0(9+12+49)=1  ⟹  259π0=1  ⟹  π0=925\pi_0 + \frac{4}{3}\pi_0 + \frac{4}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0\left(\frac{9+12+4}{9}\right) = 1 \implies \frac{25}{9}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{9}{25}
Bir sistemde tüm olası durumların bulunma olasılıkları toplamı 1 olmak zorundadır.
5
İstenen π1\pi_1 olasılığını hesaplamak
π1=43×925=1225\pi_1 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25}
Soru bizden sistemde tam olarak 1 arızalı sunucu bulunma durumu olan π1\pi_1'i istemektedir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları

Alternatif Yöntem

Bu CTMC aynı zamanda bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) olduğu için matris işlemleri yerine doğrudan 'yerel denge' (local balance) denklemleri kullanılabilir. Sadece komşu durumlar arasındaki geçişleri eşitleyerek: 4π0=3π14\pi_0 = 3\pi_1 ve 2π1=6π22\pi_1 = 6\pi_2 çok daha hızlı elde edilir ve sonuca gidilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 7Soru →

Bir petrokimya tesisindeki kritik bir kimyasal reaktörün basınç stabilizasyon valfi, arıza ve onarım süreçlerine bağlı olarak S={V1,V2,V3}S = \{V_1, V_2, V_3\} durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov zinciri (CTMC) ile izlenmektedir. Sistemdeki geçiş oranlarını saat−1\text{saat}^{-1} cinsinden gösteren sonsuz küçük üreteç (infinitesimal generator) matrisi QQ aşağıda verilmiştir:

Q=[−a403−5b06−c] Q = \begin{bmatrix} -a & 4 & 0 \\ 3 & -5 & b \\ 0 & 6 & -c \end{bmatrix}

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinin temel özellikleri dikkate alındığında, bu sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) V2V_2 durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1225\frac{12}{25}

Cevap

Sistemin uzun dönemde V2V_2 durumunda bulunma olasılığı 1225\frac{12}{25}'tir.
Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde Q-matrisinin satır toplamları sıfır olmalıdır. Buradan matristeki eksik bb değeri 2 olarak bulunur. Kararlı durum denklemleri (πQ=0\pi Q = 0) çözüldüğünde π2=43π1\pi_2 = \frac{4}{3}\pi_1 ve π3=49π1\pi_3 = \frac{4}{9}\pi_1 oranları elde edilir. Toplam olasılığın 1 olma şartından π1=925\pi_1 = \frac{9}{25}, ve dolayısıyla soruda istenen V2V_2 durumunun olasılığı π2=1225\pi_2 = \frac{12}{25} olarak kesin biçimde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Q-matrisinin özelliklerini kullanarak bilinmeyen geçiş oranlarını (a,b,ca, b, c) bulmak.
Satır toplamları sıfır olmalıdır: 2. satır ic¸in 3−5+b=0  ⟹  b=22.\text{ satır için } 3 - 5 + b = 0 \implies b = 2. Diğer satırlardan a=4a=4 ve c=6c=6 elde edilir.
Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde herhangi bir durumdan ayrılma hızı (köşegen elemanın negatifi), diğer tüm durumlara geçiş hızlarının toplamına eşit olmalıdır.
2
Kararlı durum (steady-state) denklemlerini (πQ=0\pi Q = 0) kurmak.
−4π1+3π2=0  ⟹  π2=43π1-4\pi_1 + 3\pi_2 = 0 \implies \pi_2 = \frac{4}{3}\pi_1 ve 2π2−6π3=0  ⟹  π3=13π2=49π12\pi_2 - 6\pi_3 = 0 \implies \pi_3 = \frac{1}{3}\pi_2 = \frac{4}{9}\pi_1 oranları elde edilir.
Uzun dönemde sistem dengededir, yani bir duruma giriş hızlarının toplamı, o durumdan çıkış hızlarının toplamına eşit olmalıdır (Global denge denklemleri).
3
Toplam olasılık kuralını uygulayarak π1\pi_1 olasılığını bulmak.
π1+129π1+49π1=1  ⟹  259π1=1  ⟹  π1=925\pi_1 + \frac{12}{9}\pi_1 + \frac{4}{9}\pi_1 = 1 \implies \frac{25}{9}\pi_1 = 1 \implies \pi_1 = \frac{9}{25} olarak bulunur.
Sistem her an mutlak suretle bu üç durumdan birinde bulunmak zorundadır, bu nedenle kararlı durum olasılıklarının toplamı 1'e eşittir.
4
İstenilen V2V_2 durumu için kararlı durum olasılığını hesaplamak.
π2=43×925=1225\pi_2 = \frac{4}{3} \times \frac{9}{25} = \frac{12}{25} bulunur.
Soruda sistemin uzun dönemde V2V_2 durumunda bulunma olasılığı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Analizi ve Üreteç Matrisi
Soru 8Soru →

Bir belediyeye ait su arıtma tesisindeki ana su pompasının çalışma durumu, S={0,1}S = \{0, 1\} durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Burada 00 durumu pompanın 'aktif' olduğunu, 11 durumu ise 'arızalı' olduğunu temsil etmektedir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi QQ aşağıda verilmiştir:

Q=(−223−3)Q = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}

Buna göre, bu su pompasının uzun dönemde (kararlı halde) aktif olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3/53/5

Cevap

Su pompasının uzun dönemde aktif olma olasılığı 3/53/5 olarak bulunur.
Verilen sonsuz küçük üreteç matrisi QQ üzerinden kurulan −2π0+3π1=0-2\pi_0 + 3\pi_1 = 0 denge denklemi ve π0+π1=1\pi_0 + \pi_1 = 1 normalizasyon koşulu birlikte çözüldüğünde, aktif durumu temsil eden 00 durumuna ait kararlı hal olasılığı 3/53/5 olarak hesaplanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı hal olasılıkları için πQ=0\pi Q = 0 matris denklemini yazınız.
[−2π0+3π1=0][-2\pi_0 + 3\pi_1 = 0] ve [2π0−3π1=0][2\pi_0 - 3\pi_1 = 0] denklemleri elde edilir.
Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde kararlı hal dağılımı, üreteç matrisi ile olasılık vektörünün çarpımının sıfır vektörüne eşit olmasıyla bulunur.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirerek değişkenler arasındaki ilişkiyi kurunuz.
2π0=3π1⇒π1=23π02\pi_0 = 3\pi_1 \Rightarrow \pi_1 = \frac{2}{3}\pi_0
Değişkenlerden birini diğeri cinsinden ifade etmek çözüm sürecini kolaylaştırır.
3
Olasılıkların toplamının 1 olması gerektiği kuralını uygulayınız.
π0+π1=1⇒π0+23π0=1⇒53π0=1\pi_0 + \pi_1 = 1 \Rightarrow \pi_0 + \frac{2}{3}\pi_0 = 1 \Rightarrow \frac{5}{3}\pi_0 = 1
Tüm durum olasılıklarının toplamı her zaman 1'e eşit olmalıdır (normalizasyon koşulu).
4
π0\pi_0 değerini yalnız bırakarak sonucu bulunuz.
π0=3/5\pi_0 = 3/5
Soruda istenen 'aktif' durumu (0 durumu) olasılığı bu değerdir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Hal (Stationary Distribution) Analizi

Daha Fazla Pratik

3 durumlu (0, 1, 2) bir doğum-ölüm süreci için üreteç matrisi oluşturup kararlı hal olasılıklarını hesaplayarak konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 9Soru →

Bir kamu kütüphanesindeki dijital arşivleme tarayıcısının çalışma durumu, durum uzayı S={0,1}S = \{0, 1\} olan sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Durum 0 tarayıcının "çalışır" durumda olduğunu, durum 1 ise "arızalı" olduğunu temsil etmektedir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi (QQ-matrisi) aşağıda verilmiştir:

Q=(−0,150,150,35−0,35)Q = \begin{pmatrix} -0,15 & 0,15 \\ 0,35 & -0,35 \end{pmatrix}

Buna göre, bu tarayıcının uzun dönemde (kararlı durumda) arızalı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,30

Cevap

Tarayıcının uzun dönemde arızalı olma olasılığı 0,30'dur.
Verilen QQ-matrisine göre, durum 0'dan 1'e geçiş hızı λ=0,15\lambda = 0,15 ve durum 1'den 0'a geçiş hızı μ=0,35\mu = 0,35'dir. İki durumlu bir sürekli zamanlı Markov sürecinde, kararlı durumda ikinci durumda (arızalı) bulunma olasılığı π1=λλ+μ\pi_1 = \frac{\lambda}{\lambda + \mu} formülüyle hesaplanabilir. Buradan π1=0,150,15+0,35=0,150,50=0,30\pi_1 = \frac{0,15}{0,15 + 0,35} = \frac{0,15}{0,50} = 0,30 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum olasılıkları (π0,π1\pi_0, \pi_1) için denge denklemlerini (πQ=0\pi Q = 0) yazın.
−0,15π0+0,35π1=0-0,15\pi_0 + 0,35\pi_1 = 0
Kararlı durumda, bir duruma giriş hızı o durumdan çıkış hızına eşit olmalıdır.
2
Denge denklemini sadeleştirerek değişkenler arasındaki ilişkiyi belirleyin.
0,15π0=0,35π1⇒15π0=35π1⇒3π0=7π1⇒π0=73π10,15\pi_0 = 0,35\pi_1 \Rightarrow 15\pi_0 = 35\pi_1 \Rightarrow 3\pi_0 = 7\pi_1 \Rightarrow \pi_0 = \frac{7}{3}\pi_1
Olasılıklar arasındaki doğrusal ilişkiyi kurmak için gereklidir.
3
Normalizasyon koşulunu (∑πi=1\sum \pi_i = 1) uygulayın.
π0+π1=1⇒73π1+π1=1⇒103π1=1\pi_0 + \pi_1 = 1 \Rightarrow \frac{7}{3}\pi_1 + \pi_1 = 1 \Rightarrow \frac{10}{3}\pi_1 = 1
Bir sistemdeki tüm olası durumların olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.
4
Arızalı durum olasılığını (π1\pi_1) hesaplayın.
π1=310=0,30\pi_1 = \frac{3}{10} = 0,30
Denklemin çözülmesi sonucunda hedef olasılığa ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde (CTMC) sonsuz küçük üreteç matrisi QQ kullanılarak kararlı durum olasılıkları πQ=0\pi Q = 0 ve ∑πi=1\sum \pi_i = 1 denklemleriyle hesaplanır.
Soru 10Soru →

Bir çağrı merkezindeki telefon santrali, kapasitesi en fazla 2 çağrı olacak şekilde tasarlanmıştır. Bu sisteme gelen çağrılar ve tamamlanan görüşmeler, durum uzayı S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) olarak modellenmektedir.

Sistemde nn adet çağrı varken;
- Yeni bir çağrının gelme (doğum) oranları: λ0=3\lambda_0 = 3 çağrı/saat, λ1=2\lambda_1 = 2 çağrı/saat ve λ2=0\lambda_2 = 0
- Mevcut bir çağrının tamamlanma (ölüm) oranları: μ1=1\mu_1 = 1 çağrı/saat ve μ2=1\mu_2 = 1 çağrı/saat
olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) tam kapasite dolu olma (sistemde 2 çağrı bulunma) olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

Sistemin tam kapasite dolu olma olasılığı 35\frac{3}{5}'tir.
Kararlı durum analizi için yerel denge (local balance) denklemleri olan λnπn=μn+1πn+1\lambda_n\pi_n = \mu_{n+1}\pi_{n+1} kullanılır. Oranlar yerine konulduğunda π1=3π0\pi_1 = 3\pi_0 ve π2=6π0\pi_2 = 6\pi_0 elde edilir. Olasılıkların toplamı (π0+π1+π2=10π0\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 10\pi_0) 1'e eşitlenerek π0=110\pi_0 = \frac{1}{10} bulunur. Sistemde iki müşterinin bulunması tam kapasiteyi gösterir; bu nedenle istenen π2=6×110=35\pi_2 = 6 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{5} doğru değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğum-ölüm süreci için kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini kurun.
λ0π0=μ1π1\lambda_0\pi_0 = \mu_1\pi_1 ve λ1π1=μ2π2\lambda_1\pi_1 = \mu_2\pi_2 eşitlikleri elde edilir.
Kararlı durumda iki komşu durum arasındaki akış hızları birbirine eşit (Rate In = Rate Out) olmalıdır.
2
Verilen oranları denklemlere yerleştirerek tüm olasılıkları π0\pi_0 cinsinden yazın.
3π0=1π1  ⟹  π1=3π03\pi_0 = 1\pi_1 \implies \pi_1 = 3\pi_0 ve 2π1=1π2  ⟹  π2=2π1=2(3π0)=6π02\pi_1 = 1\pi_2 \implies \pi_2 = 2\pi_1 = 2(3\pi_0) = 6\pi_0 bulunur.
Bilinmeyen sayısını teke düşürerek toplam olasılık üzerinden çözüme gitmek için ardışık yerine koyma işlemi yapılır.
3
Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması kuralını kullanarak π0\pi_0'ı hesaplayın.
π0+π1+π2=1  ⟹  π0+3π0+6π0=1  ⟹  10π0=1  ⟹  π0=110\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 \implies \pi_0 + 3\pi_0 + 6\pi_0 = 1 \implies 10\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{1}{10} elde edilir.
Bir olasılık dağılımında örneklem uzayındaki tüm olası durumların olasılıkları toplamı daima 1'dir.
4
Soruda istenen tam kapasite dolu olma (sistemde 2 çağrı bulunma) olasılığını (π2\pi_2) hesaplayın.
π2=6π0=6×110=610=35\pi_2 = 6\pi_0 = 6 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} olarak bulunur.
Sistemin maksimum kapasitesi 2 olduğu için istenen hedef durum π2\pi_2'dir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Denge Denklemleri ve Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları
Soru 11Soru →

Sürekli zamanlı bir Markov süreci (CTMC), S={0,1,2,3}S = \{0, 1, 2, 3\} durum uzayına sahiptir ve durumlar arasındaki geçiş hızlarını gösteren sonsuz küçük üreteç matrisi (Q\mathbf{Q} matrisi) aşağıda verilmiştir:

Q=(−41211−30220−200000) \mathbf{Q} = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Süreç t=0t=0 anında 00 numaralı durumdan başlamaktadır. 33 numaralı durum yutan (absorbing) durum olduğuna göre, sürecin 33 numaralı duruma ulaşana kadar geçen beklenen süresi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75\frac{7}{5}

Cevap

Sürecin yutulma durumuna (3 numaralı durum) ulaşana kadar geçen beklenen süresi 75\frac{7}{5} birim zamandır.
Doğru çözüm, sürecin geçici durumlarında geçirdiği ortalama sürelerin birinci adım analizi (first-step analysis) ile denklem sistemine dökülmesine dayanır. Durum ii'den yutan duruma kadar geçen beklenen süre mim_i olmak üzere; m0=14+14m1+24m2m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}m_1 + \frac{2}{4}m_2 ve diğer durumlara ait denklemler ortak çözüldüğünde sonuç m0=75m_0 = \frac{7}{5} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
CTMC için yutulma zamanı beklentisi (mim_i) denklemlerinin genel yapısını belirleme
mi=1−qii+∑j≠iqij−qiimjm_i = \frac{1}{-q_{ii}} + \sum_{j \neq i} \frac{q_{ij}}{-q_{ii}} m_j
Herhangi bir durumdan yutulmaya kadar geçen süre, o durumdaki ortalama bekleme süresi ile gidilecek bir sonraki durumdan yutulmaya kadar geçecek sürelerin ağırlıklı ortalamasının toplamıdır.
2
Verilen Q matrisinden yararlanarak m0m_0, m1m_1 ve m2m_2 için eşitlikleri oluşturma
m0=14+14m1+24m2m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}m_1 + \frac{2}{4}m_2
m1=13+13m0m_1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}m_0
m2=12+m0m_2 = \frac{1}{2} + m_0
Matrisin köşegen elemanları (−qii-q_{ii}) ilgili durumlardan ayrılma hızlarını (bekleme süresi paydası), diğer elemanlar (qijq_{ij}) ise hedef durumlara geçiş hızlarını verir. Yutan durum olan 3 için m3=0m_3 = 0'dır.
3
Oluşturulan 3 bilinmeyenli denklem sistemini m0m_0'a bağlı olacak şekilde çözme
m1m_1 ve m2m_2 değerleri m0m_0 denkleminde yerine yazılır: m0=14+14(13+13m0)+12(12+m0)m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}m_0) + \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + m_0)
Süreç 00 durumundan başladığı için hesaplanması gereken ve sorulan asıl değer m0m_0'dır.
4
Elde edilen tek bilinmeyenli denklemi basitleştirerek nihai m0m_0 sonucunu bulma
m0=14+112+112m0+14+12m0  ⟹  m0=712+712m0  ⟹  512m0=712  ⟹  m0=75m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}m_0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}m_0 \implies m_0 = \frac{7}{12} + \frac{7}{12}m_0 \implies \frac{5}{12}m_0 = \frac{7}{12} \implies m_0 = \frac{7}{5}
Matematiksel işlemler tamamlanarak başlangıç durumundan itibaren beklenen yutulma süresi elde edilir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde (CTMC) İlk Geçiş ve Yutulma Zamanları (Expected Time to Absorption)

Alternatif Yöntem

Matris yaklaşımı ile çözüm: Sistemin geçici durumlar matrisi QTT\mathbf{Q}_{TT} kullanılarak (−QTT)m=1(-\mathbf{Q}_{TT}) \mathbf{m} = \mathbf{1} denklemi kurulur. Buradan m=(−QTT)−11\mathbf{m} = (-\mathbf{Q}_{TT})^{-1} \mathbf{1} matris tersi işlemi yapılarak m0m_0 için aynı sonuca (75\frac{7}{5}) ulaşılabilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 12Soru →

Bir fabrikada üretim hattında görev yapan 2 adet birbirinin aynısı özel endüstriyel robot bulunmaktadır. Herhangi bir anda arızalı robot sayısı X(t)∈{0,1,2}X(t) \in \{0, 1, 2\} olmak üzere, sistem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci (CTMC) olarak modellenmektedir.

Sisteme ait arıza (doğum) ve onarım (ölüm) hızları aşağıdaki gibidir:
- İki robot da çalışırken arıza meydana gelme hızı haftada 3'tür (λ0=3\lambda_0 = 3).
- Bir robot arızalıyken diğerinin arızalanma hızı haftada 2'dir (λ1=2\lambda_1 = 2).
- Bir robot arızalıyken bakım ekibinin onarım hızı haftada 4'tür (μ1=4\mu_1 = 4).
- İki robot birden arızalandığında dışarıdan acil destek ekibi gelmekte ve sistemden çıkan (onarılan) robot hızı haftada 5'e yükselmektedir (μ2=5\mu_2 = 5).
- Tam kapasite durumunda (2 arızalı robot) yeni arıza oluşamaz (λ2=0\lambda_2 = 0).

Buna göre, bu fabrikada uzun dönemde (kararlı durumda) her iki robotun da aynı anda arızalı olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 641\frac{6}{41}

Cevap

Uzun dönemde (kararlı durumda) her iki robotun da aynı anda arızalı olma olasılığı 641\frac{6}{41}'dir.
Bu problem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellendiğinden, uzun dönem (kararlı durum) olasılıkları πn\pi_n ardışık durumların denge denklemleri olan λn−1πn−1=μnπn\lambda_{n-1}\pi_{n-1} = \mu_n\pi_n eşitliğinden bulunur. Oranlar yerine konulduğunda π1=34π0\pi_1 = \frac{3}{4}\pi_0 ve π2=310π0\pi_2 = \frac{3}{10}\pi_0 eşitlikleri elde edilir. Tüm olasılıkların toplamının 1 olması gerektiğinden yola çıkarak π0(1+0.75+0.3)=1\pi_0(1 + 0.75 + 0.3) = 1 denklemi çözülür. Buradan π0=2041\pi_0 = \frac{20}{41} ve hedeflenen olasılık olan π2=641\pi_2 = \frac{6}{41} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini (balance equations) kurma
λ0π0=μ1π1\lambda_0 \pi_0 = \mu_1 \pi_1 ve λ1π1=μ2π2\lambda_1 \pi_1 = \mu_2 \pi_2
Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreçlerinde ardışık durumlar arası akış dengede olmalıdır.
2
Verilen geçiş hızlarını denklemlere yerleştirme
3π0=4π1  ⟹  π1=34π03\pi_0 = 4\pi_1 \implies \pi_1 = \frac{3}{4}\pi_0 ve 2π1=5π2  ⟹  2(34π0)=5π2  ⟹  π2=310π02\pi_1 = 5\pi_2 \implies 2(\frac{3}{4}\pi_0) = 5\pi_2 \implies \pi_2 = \frac{3}{10}\pi_0
Durum olasılıklarını birbirleri cinsinden yazarak ortak bir bilinmeyene (π0\pi_0) bağlamak için.
3
Tüm olasılıkların toplamını 1'e eşitleme
π0+34π0+310π0=1\pi_0 + \frac{3}{4}\pi_0 + \frac{3}{10}\pi_0 = 1
Sistemin herhangi bir anda mutlaka {0,1,2}\{0, 1, 2\} durumlarından birinde bulunma zorunluluğundan.
4
Denklemi çözerek π2\pi_2 olasılığını hesaplama
π0(1+1520+620)=1  ⟹  4120π0=1  ⟹  π0=2041\pi_0(1 + \frac{15}{20} + \frac{6}{20}) = 1 \implies \frac{41}{20}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{20}{41}. Buradan π2=310×2041=641\pi_2 = \frac{3}{10} \times \frac{20}{41} = \frac{6}{41}
İstenen değer sistemin tam kapasite (2 arıza) durumunda olma olasılığıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Analizi
Soru 13Soru →

Bir sunucu sistemi, 'Çalışır (0)', 'Kısmen Arızalı (1)' ve 'Tamamen Arızalı (2)' olmak üzere üç farklı durumda bulunabilen sürekli zamanlı bir Markov süreci (CTMC) ile modellenmektedir. Sistemin durumlar arası geçiş hızları (oranları) şu şekildedir:

- Çalışır durumdaki bir sunucunun kısmen arızalı duruma geçiş hızı saatte 3, tamamen arızalı duruma geçiş hızı ise saatte 2'dir.
- Kısmen arızalı durumdaki bir sunucu saatte 2 hızla onarılarak çalışır duruma dönerken, saatte 4 hızla tamamen arızalı duruma bozularak geçmektedir.
- Tamamen arızalı durumdaki bir sunucu, saatte 5 hızla doğrudan çalışır duruma onarılmaktadır. (Tamamen arızalı durumdan kısmen arızalı duruma geçiş yoktur).

Bu bilgilere göre, uzun dönemde (kararlı durumda) sunucunun 'Tamamen Arızalı' durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 823\frac{8}{23}

Cevap

Sunucunun tamamen arızalı durumunda bulunma olasılığı 823\frac{8}{23} olmalıdır.
Kararlı durumda sisteme giren ve çıkan akış oranları eşit olmalıdır (πQ=0\pi Q = 0). Elde edilen denge denklemleri çözülüp π0+π1+π2=1\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 kuralı uygulandığında, Tamamen Arızalı durumun olasılığı 823\frac{8}{23} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sonsuz küçük üreteç (generator) matrisi QQ'yu oluşturun.
Q=[−5322−6450−5]Q = \begin{bmatrix} -5 & 3 & 2 \\ 2 & -6 & 4 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix}
Durumlar arası geçiş oranları matrisin köşegen dışı elemanlarını, satır toplamının sıfır olması kuralı ise köşegen elemanlarını (qii=−∑j≠iqijq_{ii} = -\sum_{j \neq i} q_{ij}) verir.
2
Kararlı durum olasılıkları için πQ=0\pi Q = 0 denge denklemlerini yazın.
1) −5π0+2π1+5π2=0-5\pi_0 + 2\pi_1 + 5\pi_2 = 0
2) 3π0−6π1=0⇒π1=0.5π03\pi_0 - 6\pi_1 = 0 \Rightarrow \pi_1 = 0.5\pi_0
3) 2π0+4π1−5π2=02\pi_0 + 4\pi_1 - 5\pi_2 = 0
Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde uzun dönem olasılıkları sisteme giriş ve çıkış oranlarının dengelenmesiyle bulunur.
3
Denklemleri çözerek π2\pi_2'yi π0\pi_0 cinsinden ifade edin.
3. denkleme π1=0.5π0\pi_1 = 0.5\pi_0 yazılırsa: 2π0+4(0.5π0)−5π2=0⇒4π0=5π2⇒π2=0.8π02\pi_0 + 4(0.5\pi_0) - 5\pi_2 = 0 \Rightarrow 4\pi_0 = 5\pi_2 \Rightarrow \pi_2 = 0.8\pi_0
Bütün değişkenleri tek bir bilinmeyen (π0\pi_0) cinsinden yazmak normalizasyon adımına hazırlıktır.
4
Normalizasyon kuralı ∑πi=1\sum \pi_i = 1 eşitliğini uygulayarak π0\pi_0'ı bulun ve sorulan π2\pi_2'yi hesaplayın.
π0+0.5π0+0.8π0=1⇒2.3π0=1⇒π0=1023\pi_0 + 0.5\pi_0 + 0.8\pi_0 = 1 \Rightarrow 2.3\pi_0 = 1 \Rightarrow \pi_0 = \frac{10}{23}. Buradan π2=0.8×1023=823\pi_2 = 0.8 \times \frac{10}{23} = \frac{8}{23}.
Tüm durumların olasılıklarının toplamı daima 1'e eşit olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum Olasılıkları
Soru 14Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğündeki evrak kayıt masasında bekleyen ve işlem gören toplam dosya sayısı, durum uzayı S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\} olan sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellenmektedir.

Bu masadaki işleyişe ait geçiş hızları (saat başına) aşağıda verilmiştir:
- Masa boşken yeni dosya gelme hızı: λ0=3\lambda_0 = 3
- Masada 1 dosya varken yeni dosya gelme hızı: λ1=2\lambda_1 = 2
- Masada 2 dosya varken kapasite dolduğundan yeni dosya kabul edilmemektedir (λ2=0\lambda_2 = 0).
- Masada 1 dosya varken işlemin tamamlanma hızı: μ1=1\mu_1 = 1
- Masada 2 dosya varken memurun artan iş yüküyle hızlanması sonucu işlemin tamamlanma hızı: μ2=4\mu_2 = 4

Buna göre, uzun dönemde (kararlı durumda) bu masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 611\frac{6}{11}

Cevap

Uzun dönemde sistemde tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı 611\frac{6}{11} olarak hesaplanır.
Kararlı durumda (steady-state) doğum-ölüm süreçleri için denge denklemleri kullanılarak her durumun olasılığı P0P_0 cinsinden bulunur. Verilen hızlar kullanıldığında P1=3P0P_1 = 3 P_0 ve P2=1.5P0P_2 = 1.5 P_0 elde edilir. Tüm olasılıkların toplamının 1 olması kuralından hareketle P0(1+3+1.5)=1P_0 (1 + 3 + 1.5) = 1 denklemi kurularak P0=211P_0 = \frac{2}{11} bulunur. Soruda masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı istendiğinden P1=3×211=611P_1 = 3 \times \frac{2}{11} = \frac{6}{11} olarak hesaplanıp doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreci için kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini oluşturun.
Pn=λn−1μnPn−1P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1} genel formülünden faydalanarak P1=λ0μ1P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 ve P2=λ1μ2P1P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1 denklemleri yazılır.
Kararlı durumda her bir durum için giriş hızları toplamı, çıkış hızları toplamına eşit olmalıdır.
2
Soruda verilen geçiş hızlarını denklemlere yerleştirerek P1P_1 ve P2P_2'yi P0P_0 cinsinden ifade edin.
P1=31P0=3P0P_1 = \frac{3}{1} P_0 = 3 P_0
P2=24P1=12(3P0)=1.5P0P_2 = \frac{2}{4} P_1 = \frac{1}{2} (3 P_0) = 1.5 P_0
Tüm durumların olasılıklarını tek bir bilinmeyen (P0P_0) cinsinden yazarak ortak denkleme hazırlık yapmak için.
3
Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması kuralını uygulayarak P0P_0'ı bulun.
P0+P1+P2=1  ⟹  P0+3P0+1.5P0=1  ⟹  5.5P0=1  ⟹  P0=15.5=211P_0 + P_1 + P_2 = 1 \implies P_0 + 3 P_0 + 1.5 P_0 = 1 \implies 5.5 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{5.5} = \frac{2}{11}
Olasılık aksiyomları gereği, sistemin tüm olası durumlarının olasılıkları toplamı daima 1 olmalıdır.
4
P0P_0 değerini kullanarak soruda istenen P1P_1 (sistemde 1 dosya olma) olasılığını hesaplayın.
P1=3P0=3×211=611P_1 = 3 P_0 = 3 \times \frac{2}{11} = \frac{6}{11}
Soruda kararlı durumda masada tam olarak 1 dosya bulunma olasılığı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları
Soru 15Soru →

Bir Orman Genel Müdürlüğü erken uyarı merkezinde, orman yangını risk seviyesi sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci olarak modellenmektedir. Sistem üç farklı risk durumunda bulunabilmektedir: S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\}.

- 00: Düşük Risk
- 11: Orta Risk
- 22: Yüksek Risk

Risk seviyesindeki değişimler sadece ardışık durumlar arasında gerçekleşmektedir. Sistemin durumları arasındaki günlük geçiş oranları şu şekildedir:
- Düşük riskten orta riske geçiş oranı: λ0=2\lambda_0 = 2
- Orta riskten yüksek riske geçiş oranı: λ1=1\lambda_1 = 1
- Orta riskten düşük riske dönme oranı: μ1=3\mu_1 = 3
- Yüksek riskten orta riske dönme oranı: μ2=4\mu_2 = 4

Buna göre, sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) "Düşük Risk" (00) durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 611\frac{6}{11}

Cevap

Sistemin Düşük Risk (0) durumunda bulunma olasılığı 611\frac{6}{11}'dir.
Sürekli zamanlı bir doğum-ölüm sürecinde yerel denge denklemleri λn−1Pn−1=μnPn\lambda_{n-1} P_{n-1} = \mu_n P_n şeklinde kurulur. 0 ve 1 durumları için 2P0=3P12P_0 = 3P_1, 1 ve 2 durumları için 1P1=4P21P_1 = 4P_2 eşitlikleri geçerlidir. Buradan P1=23P0P_1 = \frac{2}{3}P_0 ve P2=14P1=16P0P_2 = \frac{1}{4}P_1 = \frac{1}{6}P_0 elde edilir. Tüm olasılıkların toplamı 1 olacağından; P0(1+23+16)=1  ⟹  P0(116)=1P_0(1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{6}) = 1 \implies P_0(\frac{11}{6}) = 1 denklemi çözülerek Düşük Risk durumu olasılığı 611\frac{6}{11} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğum-ölüm süreci için her bir ardışık durum arasındaki yerel denge (balance) denklemlerini kurunuz.
Düğüm 0 ile 1 arası: λ0P0=μ1P1  ⟹  2P0=3P1\lambda_0 P_0 = \mu_1 P_1 \implies 2P_0 = 3P_1
Düğüm 1 ile 2 arası: λ1P1=μ2P2  ⟹  1P1=4P2\lambda_1 P_1 = \mu_2 P_2 \implies 1P_1 = 4P_2
Kararlı durumda (steady-state), bir durumdan diğerine geçiş hızı, o durumdan geriye dönüş hızına eşit olmalıdır.
2
Tüm kararlı durum olasılıklarını (P1P_1 ve P2P_2) P0P_0 cinsinden ifade ediniz.
P1=23P0P_1 = \frac{2}{3}P_0
P2=14P1=14(23P0)=16P0P_2 = \frac{1}{4}P_1 = \frac{1}{4}(\frac{2}{3}P_0) = \frac{1}{6}P_0
Olasılıkların toplamını 1'e eşitleyerek tek bilinmeyenli bir denklem elde edebilmek için tüm terimlerin aynı değişken cinsinden yazılması gerekir.
3
Normalizasyon şartını (P0+P1+P2=1P_0 + P_1 + P_2 = 1) kullanarak P0P_0 değerini hesaplayınız.
P0+23P0+16P0=1  ⟹  P0(1+46+16)=1  ⟹  P0(116)=1  ⟹  P0=611P_0 + \frac{2}{3}P_0 + \frac{1}{6}P_0 = 1 \implies P_0(1 + \frac{4}{6} + \frac{1}{6}) = 1 \implies P_0(\frac{11}{6}) = 1 \implies P_0 = \frac{6}{11}
Bir Markov sürecinde sistemin alabileceği tüm durumların olasılıklarının toplamı her zaman 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları ve Yerel Denge Denklemleri

Alternatif Yöntem

Sürecin geçiş oranları matrisi (Infinitesimal Generator Matrix - Q matrisi) kullanılarak genel çözüm yapılabilir. Matris: Q=[−2203−4104−4]Q = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 3 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & -4 \end{bmatrix} şeklindedir. πQ=0\pi Q = 0 ve π0+π1+π2=1\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 denklem sistemi çözüldüğünde π0\pi_0 değeri doğrudan elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →

Bir devlet hastanesinin acil servisindeki hasta kabul biriminin yoğunluk seviyesi, durum uzayı S={1,2,3}S = \{1, 2, 3\} olan sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmektedir (1: Düşük, 2: Orta, 3: Yüksek yoğunluk). Bu sürece ait birim saat cinsinden geçiş oranlarını gösteren infinitezimal üreteç (jeneratör) matrisi QQ aşağıda verilmiştir:

Q=(−4405−7203−3) Q = \begin{pmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 5 & -7 & 2 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}

Buna göre, acil servisin uzun dönemde (kararlı durumda) "Orta" (Durum 2) yoğunluk seviyesinde bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1235\frac{12}{35}

Cevap

Uzun dönemde sistemin Durum 2'de bulunma olasılığı 1235\frac{12}{35}'tir.
Sürekli zamanlı bir Markov zincirinde kararlı durum olasılık vektörü π=[π1,π2,π3]\pi = [\pi_1, \pi_2, \pi_3], πQ=0\pi Q = 0 sistemini sağlar. Bu çarpımdan sırasıyla −4π1+5π2=0-4\pi_1 + 5\pi_2 = 0 (bu da π1=1.25π2\pi_1 = 1.25\pi_2 demektir) ve 2π2−3π3=02\pi_2 - 3\pi_3 = 0 (bu da π3=(2/3)π2\pi_3 = (2/3)\pi_2 demektir) eşitlikleri bulunur. Sistemin tüm olasılıkları toplamı 1 olacağından; 54π2+1π2+23π2=1\frac{5}{4}\pi_2 + 1\pi_2 + \frac{2}{3}\pi_2 = 1 denklemi yazılır. Ortak payda (12) kullanılarak toplandığında 3512π2=1\frac{35}{12}\pi_2 = 1 elde edilir. Buradan Durum 2'nin uzun dönem olasılığı olan π2\pi_2, 1235\frac{12}{35} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum (steady-state) denklemlerini (πQ=0\pi Q = 0) kurmak.
−4π1+5π2=0-4\pi_1 + 5\pi_2 = 0 ve 2π2−3π3=02\pi_2 - 3\pi_3 = 0 dengeleri elde edilir.
Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde uzun dönem olasılıkları, olasılık vektörü ile üreteç matrisinin çarpımının sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.
2
Tüm durum olasılıklarını π2\pi_2 cinsinden ifade etmek.
π1=54π2\pi_1 = \frac{5}{4}\pi_2 ve π3=23π2\pi_3 = \frac{2}{3}\pi_2 olarak yazılır.
Olasılıkları tek bir bilinmeyene indirgeyerek toplam kuralını kolayca uygulayabilmek için bu işlem yapılır.
3
Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması kuralını (π1+π2+π3=1\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1) uygulamak.
54π2+π2+23π2=1  ⟹  (1512+1212+812)π2=1  ⟹  3512π2=1\frac{5}{4}\pi_2 + \pi_2 + \frac{2}{3}\pi_2 = 1 \implies \left(\frac{15}{12} + \frac{12}{12} + \frac{8}{12}\right)\pi_2 = 1 \implies \frac{35}{12}\pi_2 = 1.
Sistemin herhangi bir anda mutlaka durum uzayındaki konumlardan birinde bulunması gerektiğinden, olasılıklar toplamı daima 1'dir.
4
Denklemi çözerek π2\pi_2 değerini yalnız bırakmak.
π2=1235\pi_2 = \frac{12}{35} sonucu elde edilir.
Kararlı durumda 'Orta' yoğunluk seviyesinin olasılığı doğrudan π2\pi_2 değişkenine eşittir.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları
Soru 17Soru →

Bir kamu hizmet merkezindeki işlem bankosunun çalışma durumu, S={0,1}S = \{0, 1\} durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi (infinitesimal generator matrix) QQ aşağıda verilmiştir:

Q=(−223−3)Q = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}

Buna göre, bu sürecin kararlı durumunda (stationary distribution) bankonun boş (durum 0) olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,60

Cevap

Bankonun boş olma olasılığı 0,60 olarak hesaplanır.
Verilen üreteç matrisine göre denge denklemi −2P0+3P1=0-2P_0 + 3P_1 = 0 şeklindedir. Bu denklemden P1=23P0P_1 = \frac{2}{3}P_0 ilişkisi bulunur. Toplam olasılık kuralı olan P0+P1=1P_0 + P_1 = 1 denkleminde bu ilişki yerine yazıldığında P0+23P0=1P_0 + \frac{2}{3}P_0 = 1 elde edilir. Buradan 53P0=1\frac{5}{3}P_0 = 1 ve sonuç olarak P0=0,6P_0 = 0,6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum denklemlerini (P⋅Q=0P \cdot Q = 0) ve normalizasyon şartını (P0+P1=1P_0 + P_1 = 1) belirlemek.
−2P0+3P1=0-2P_0 + 3P_1 = 0 ve P0+P1=1P_0 + P_1 = 1 denklemleri elde edilir.
Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde kararlı durum olasılıkları, üreteç matrisi ile olasılık vektörünün çarpımının sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.
2
Denge denkleminden bir değişkeni diğeri cinsinden yazmak.
3P1=2P0⇒P1=23P03P_1 = 2P_0 \Rightarrow P_1 = \frac{2}{3}P_0.
İki bilinmeyenli sistemi çözebilmek için değişkenler arası ilişki kurulur.
3
Değişkeni normalizasyon denkleminde yerine koyarak çözmek.
P0+23P0=1⇒53P0=1⇒P0=35=0,6P_0 + \frac{2}{3}P_0 = 1 \Rightarrow \frac{5}{3}P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{3}{5} = 0,6.
Toplam olasılığın 1 olması gerektiği kuralı ile kesin sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde kararlı durum olasılıkları, denge denklemleri (P⋅Q=0P \cdot Q = 0) ve toplam olasılık kuralı kullanılarak hesaplanır.
Tahmini Süre:45s