Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeğişken Dönüşümleri ve Jakobiyen

XX ve YY sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y)={8xy,0<x<y<10,dig˘er durumlardaf(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

U=XYU = \frac{X}{Y} ve V=YV = Y değişken dönüşümleri tanımlanmıştır.

Buna göre, UU ve VV rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu g(u,v)g(u,v) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. g(u,v)=8uv3,0<u<1 ve 0<v<1g(u,v) = 8uv^3, \quad 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1Cevap
  2. B
    g(u,v)=8uv2,0<u<1 ve 0<v<1g(u,v) = 8uv^2, \quad 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1
  3. C
    g(u,v)=8uv,0<u<1 ve 0<v<1g(u,v) = 8uv, \quad 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1
  4. D
    g(u,v)=8uv3,0<u<v<1g(u,v) = 8uv^3, \quad 0 < u < v < 1
  5. E
    g(u,v)=8uv2,0<u<v<1g(u,v) = 8uv^2, \quad 0 < u < v < 1

Cevap

g(u,v)=8uv3g(u,v) = 8uv^3 yoğunluk fonksiyonuna ve 0<u<10 < u < 1 ile 0<v<10 < v < 1 sınırlarına sahip olan seçenektir.
Doğru seçenekte, ters dönüşüm formülleri (x=uv,y=vx=uv, y=v) doğru tespit edilmiş, Jakobiyen determinantı ∣J∣=v|J|=v olarak hesaplanıp yerine konmuş (8(uv)(v)⋅v=8uv38(uv)(v) \cdot v = 8uv^3) ve orijinal sınırlar (0<x<y<10<x<y<1) üzerinden yeni sınırlar (0<u<1,0<v<10<u<1, 0<v<1) tam ve eksiksiz bir şekilde belirlenmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Eski değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etme
Y=VY = V ve X=UVX = UV
Değişken dönüşümü yapabilmek için ters dönüşüm denklemlerini elde etmemiz gerekir.
2
Jakobiyen determinantını (JJ) hesaplama
J=det⁡(∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v)=det⁡(vu01)=vJ = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} v & u \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = v. V=Y>0V=Y>0 olduğu için mutlak değeri ∣J∣=v|J| = v olur.
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun dönüşümünde, alan/hacim değişimini düzeltmek için Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpmak gerekir.
3
Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu g(u,v)g(u,v) elde etme
g(u,v)=f(uv,v)⋅∣J∣=8(uv)(v)⋅v=8uv3g(u,v) = f(uv, v) \cdot |J| = 8(uv)(v) \cdot v = 8uv^3
Orijinal fonksiyonda xx ve yy yerine eşdeğerlerini yazıp mutlak Jakobiyen değeri ile çarparız.
4
Yeni değişkenler için tanım aralığını (sınırları) bulma
Orijinal 0<x<y<10 < x < y < 1 eşitsizliğinde değişkenleri yerine yazarsak 0<uv<v<10 < uv < v < 1 elde edilir. Eşitsizliği vv (v>0v > 0) değerine bölersek 0<u<10 < u < 1 bulunur. Ayrıca v<1v < 1 olduğundan, son sınırlar 0<u<10 < u < 1 ve 0<v<10 < v < 1 olarak belirlenir.
Dönüşüm sonrasında yeni olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olduğu bölgeyi belirlememiz gerekir.

Anahtar Kavram

Değişken Dönüşümleri ve Jakobiyen Yöntemi
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Dönüşümleri ve Jakobiyen