Sürekli X ve Y rastgele değişkenleri, (0,1) aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Yeni rastgele değişkenler U ve V, U = XY V = \frac{Y}{X} olarak tanımlanıyor. Buna göre, U ve V'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu g(u,v) ve tanımlı olduğu bölge aşağıdakilerden hangisidir?

$g(u,v) = \frac{1}{2v}, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)$

Sürekli X ve Y rastgele değişkenleri, (0,1) aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılı… — KPSS İstatistik

Sürekli $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri, $(0,1)$ aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılıma sahiptir.

Yeni rastgele değişkenler

U

V

U = XY

V = \frac{Y}{X}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre, $U$ ve $V$ 'nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $g(u,v)$ ve tanımlı olduğu bölge aşağıdakilerden hangisidir?

$g(u,v) = \frac{1}{2v}, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)$ Cevap
B
$g(u,v) = 2v, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)$
C
$g(u,v) = 1, \quad v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)$
D
$g(u,v) = \frac{1}{2v}, \quad 0 < u < 1, \ v > 0$
E
$g(u,v) = 2v, \quad 0 < u < 1, \ v > 0$

Cevap

Dönüşüm sonucunda ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

g(u,v) = \frac{1}{2v}

ve tanımlı olduğu bölge

v > 0, \ 0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)

olarak bulunur.

Verilen iki rastgele değişkenin

(0,1)

aralığında düzgün dağılması ortak olasılık fonksiyonunu

1

yapar. Ters dönüşümlerle Jakobiyen determinantı (

|J|

) hesaplandığında

\frac{1}{2v}

elde edilir. Yeni bölgesel sınırlar belirlenirken, eski değişkenlerin

(0,1)

arasındaki kısıtlamaları yeni değişkenlerin üzerinde eşzamanlı olarak sağlanmalıdır. Bu sebeple hem

u < v

hem de

u < 1/v

şartları birleşerek

0 < u < \min(v, \frac{1}{v})

ortak destek bölgesini oluşturur.

Adım Adım Çözüm

X

Y

değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirlemek.

f(x,y) = 1

0 < x < 1

0 < y < 1

Değişkenler

(0,1)

aralığında bağımsız düzgün (uniform) dağıldığı için, ortak yoğunluk fonksiyonu marjinal yoğunlukların (

f(x)=1, f(y)=1

) çarpımına eşittir.

U

V

dönüşümlerinden

x

y

'yi çekerek ters dönüşümleri bulmak.

x = \sqrt{\frac{u}{v}}

y = \sqrt{uv}

Jakobiyen determinantını (

|J|

) hesaplayabilmek ve fonksiyon sınırlarını yeni değişkenlere adapte edebilmek için

x

y

'nin

u

v

cinsinden ifade edilmesi zorunludur.

Jakobiyen determinantını (

|J|

) hesaplamak.

|J| = \left| \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} \right| = \left| \left(\frac{1}{2\sqrt{uv}}\right)\left(\frac{u}{2\sqrt{uv}}\right) - \left(-\frac{u}{2v\sqrt{uv}}\right)\left(\frac{v}{2\sqrt{uv}}\right) \right| = \left| \frac{1}{4v} + \frac{1}{4v} \right| = \frac{1}{2v}

Çok değişkenli olasılık dönüşüm teoremi gereği, yeni uzaydaki alan ölçeklemesini telafi etmek için bu çarpan gereklidir.

Dönüşüm formülünü uygulayarak yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

g(u,v)

) elde etmek.

g(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{2v} = \frac{1}{2v}

Orijinal fonksiyon

1

'e eşit olduğu için, yeni fonksiyon doğrudan Jakobiyen determinantının mutlak değerine eşittir.

U

V

için sınırları (tanımlı olduğu bölgeyi) belirlemek.

0 < x < 1 \implies 0 < \sqrt{\frac{u}{v}} < 1 \implies u < v

0 < y < 1 \implies 0 < \sqrt{uv} < 1 \implies uv < 1 \implies u < \frac{1}{v}

Her ikisi de pozitif olduğundan

u > 0, v > 0

olmalıdır. Sonuç:

v > 0

için

0 < u < \min\left(v, \frac{1}{v}\right)

Yeni değişkenler eski değişkenlerin eşitsizlik kurallarına tabi kalmak zorundadır. Ortak sağlanan kesişim bölgesi yeni değişkenlerin sınırlarını oluşturur.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Dönüşüm ve Jakobiyen

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular