Sürekli X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi … — KPSS İstatistik

Sürekli $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{2}{3}(x+2y), & 0 < x < 1 \text{ ve } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $U=3X$ ve $V=2Y$ değişken dönüşümü yapıldığında elde edilen $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $g(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir? (Aşağıdaki seçeneklerde sadece fonksiyonun tanımlı ve 0'dan farklı olduğu bölgeler verilmiştir.)

A
$g(u,v) = \frac{2u+6v}{9}, \quad 0 < u < 3, \ 0 < v < 2$
B
$g(u,v) = \frac{4u+12v}{3}, \quad 0 < u < 3, \ 0 < v < 2$
$g(u,v) = \frac{u+3v}{27}, \quad 0 < u < 3, \ 0 < v < 2$ Cevap
D
$g(u,v) = \frac{u+3v}{27}, \quad 0 < u < 1, \ 0 < v < 1$
E
$g(u,v) = \frac{u+2v}{9}, \quad 0 < u < 3, \ 0 < v < 2$

Cevap

g(u,v) = \frac{u+3v}{27}, \quad 0 < u < 3, \ 0 < v < 2

Doğru yanıtı elde etmek için

U=3X

V=2Y

dönüşümlerinin tersi (

x = u/3

y = v/2

)

f(x,y)

fonksiyonunda yerine yazılır. Ardından, diferansiyel alandaki değişim için Jakobiyen matrisinin determinantı

J = (1/3)(1/2) - (0)(0) = 1/6

bulunur. Son olarak eski sınırlar olan

0<x<1

0<y<1

yeni değişkenler için çözülerek destek kümesi

0<u<3

0<v<2

olarak elde edilir.

g(u,v) = f(u/3, v/2) \cdot |J|

kuralı uygulandığında

\frac{u+3v}{27}

formülü ortaya çıkar.

Adım Adım Çözüm

Dönüşüm denklemlerinden

x

y

değişkenlerini yalnız bırakmak.

x = \frac{u}{3}

y = \frac{v}{2}

ters dönüşümleri elde edilir.

Orijinal ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunda (

f(x,y)

) yerine koyulacak ifadeleri bulmak için.

Jakobiyen determinantını hesaplamak.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} = \frac{1}{6}

Dönüşüm sonrasında hacimsel/alansal ölçeklenmeyi formüle dâhil edebilmek için.

Elde edilen ters dönüşümleri fonksiyonun içine yerleştirip mutlak Jakobiyen ile çarpmak.

g(u,v) = f\left(\frac{u}{3}, \frac{v}{2}\right) \cdot |J| = \frac{2}{3}\left(\frac{u}{3} + 2\left(\frac{v}{2}\right)\right) \cdot \left|\frac{1}{6}\right| = \frac{2}{3}\left(\frac{u}{3} + v\right) \cdot \frac{1}{6} = \frac{u+3v}{27}

Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun kuralını elde etmek için.

x

y

için verilen tanım aralığını

u

v

için güncellemek.

0 < x < 1 \implies 0 < \frac{u}{3} < 1 \implies 0 < u < 3

0 < y < 1 \implies 0 < \frac{v}{2} < 1 \implies 0 < v < 2

Dönüşen rastgele değişkenlerin olasılıklarının geçerli olduğu yeni destek kümesini (sınırları) belirlemek için.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli Rastgele Değişkenlerde Dönüşüm ve Jakobiyen Yöntemi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular