X ve Y rastgele değişkenleri (0,1) aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılıma sahipt… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri $(0,1)$ aralığında bağımsız ve düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Bu durumda $U = 2X$ ve $V = 3Y$ olarak tanımlanan yeni rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $g(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$g(u,v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 2, \ 0 < v < 3$ Cevap
B
$g(u,v) = 1, \quad 0 < u < 2, \ 0 < v < 3$
C
$g(u,v) = 6, \quad 0 < u < 2, \ 0 < v < 3$
D
$g(u,v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 1, \ 0 < v < 1$
E
$g(u,v) = 1, \quad 0 < u < 1, \ 0 < v < 1$

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

1/6

olup, tanım aralığı

0 < u < 2

0 < v < 3

şeklindedir.

Dönüşüm kuralı uygulandığında, Jakobiyen determinantı

1/6

olarak hesaplanır ve

U

ile

V

değişkenlerinin sınırları sırasıyla

(0,2)

(0,3)

aralıklarına genişler. Bu iki durumun birleşimi doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

Orijinal ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleme

f(x,y) = 1, \quad 0 < x < 1, \ 0 < y < 1

X

Y

bağımsız ve

(0,1)

aralığında düzgün dağılımlı olduğu için marjinal yoğunluklarının çarpımı ortak yoğunluğu verir.

Ters dönüşüm fonksiyonlarını bulma

x = \frac{u}{2}

y = \frac{v}{3}

U = 2X

V = 3Y

denklemlerinden

x

y

değişkenlerini yalnız bırakırız.

Jakobiyen determinantını hesaplama

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6}

Değişken dönüşümü formülünde yoğunluk fonksiyonunun ölçeklenmesi için Jakobiyen determinantına ihtiyaç vardır.

Yeni sınırları belirleme

0 < \frac{u}{2} < 1 \Rightarrow 0 < u < 2

0 < \frac{v}{3} < 1 \Rightarrow 0 < v < 3

x

y

değişkenlerinin orijinal sınırlarını

u

v

cinsinden ifade ederiz.

Yeni yoğunluk fonksiyonunu yazma

g(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

Dönüşüm kuralı gereği orijinal fonksiyon ile Jakobiyen'in mutlak değeri çarpılır.

Anahtar Kavram

İki değişkenli bir dönüşümde yeni yoğunluk fonksiyonu, orijinal yoğunluk fonksiyonunun ters dönüşümlerle ifadesinin Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmasıyla elde edilir.

İpuçları

Yeni yoğunluk fonksiyonunu bulmak için

g(u,v) = f(x,y) \cdot |J|

formülünü kullanmalısın.

Jakobiyen determinantını hesaplarken ters dönüşüm fonksiyonlarının (

x=u/2, y=v/3

) türevlerini almalısın.

U=2X

olduğu için

X

değişkeni

0

ile

1

arasındayken

U

değişkeni

0

ile

2

arasında değer alacaktır.

Daha Fazla Pratik

Daha karmaşık olan

U=X+Y

V=X-Y

gibi toplam/fark dönüşümlerini inceleyerek Jakobiyen matrisinin nasıl kurulduğunu pekiştirebilirsin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Konular