Examkin

Soru

Zorluk: ZorSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir fabrikada üretim hattında görev yapan 2 adet birbirinin aynısı özel endüstriyel robot bulunmaktadır. Herhangi bir anda arızalı robot sayısı X(t)∈{0,1,2}X(t) \in \{0, 1, 2\} olmak üzere, sistem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci (CTMC) olarak modellenmektedir.

Sisteme ait arıza (doğum) ve onarım (ölüm) hızları aşağıdaki gibidir:
- İki robot da çalışırken arıza meydana gelme hızı haftada 3'tür (λ0=3\lambda_0 = 3).
- Bir robot arızalıyken diğerinin arızalanma hızı haftada 2'dir (λ1=2\lambda_1 = 2).
- Bir robot arızalıyken bakım ekibinin onarım hızı haftada 4'tür (μ1=4\mu_1 = 4).
- İki robot birden arızalandığında dışarıdan acil destek ekibi gelmekte ve sistemden çıkan (onarılan) robot hızı haftada 5'e yükselmektedir (μ2=5\mu_2 = 5).
- Tam kapasite durumunda (2 arızalı robot) yeni arıza oluşamaz (λ2=0\lambda_2 = 0).

Buna göre, bu fabrikada uzun dönemde (kararlı durumda) her iki robotun da aynı anda arızalı olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    16\frac{1}{6}
  2. B
    937\frac{9}{37}
  3. 641\frac{6}{41}Cevap
  4. D
    1017\frac{10}{17}
  5. E
    1247\frac{12}{47}

Cevap

Uzun dönemde (kararlı durumda) her iki robotun da aynı anda arızalı olma olasılığı 641\frac{6}{41}'dir.
Bu problem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellendiğinden, uzun dönem (kararlı durum) olasılıkları πn\pi_n ardışık durumların denge denklemleri olan λn−1πn−1=μnπn\lambda_{n-1}\pi_{n-1} = \mu_n\pi_n eşitliğinden bulunur. Oranlar yerine konulduğunda π1=34π0\pi_1 = \frac{3}{4}\pi_0 ve π2=310π0\pi_2 = \frac{3}{10}\pi_0 eşitlikleri elde edilir. Tüm olasılıkların toplamının 1 olması gerektiğinden yola çıkarak π0(1+0.75+0.3)=1\pi_0(1 + 0.75 + 0.3) = 1 denklemi çözülür. Buradan π0=2041\pi_0 = \frac{20}{41} ve hedeflenen olasılık olan π2=641\pi_2 = \frac{6}{41} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini (balance equations) kurma
λ0π0=μ1π1\lambda_0 \pi_0 = \mu_1 \pi_1 ve λ1π1=μ2π2\lambda_1 \pi_1 = \mu_2 \pi_2
Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreçlerinde ardışık durumlar arası akış dengede olmalıdır.
2
Verilen geçiş hızlarını denklemlere yerleştirme
3π0=4π1  ⟹  π1=34π03\pi_0 = 4\pi_1 \implies \pi_1 = \frac{3}{4}\pi_0 ve 2π1=5π2  ⟹  2(34π0)=5π2  ⟹  π2=310π02\pi_1 = 5\pi_2 \implies 2(\frac{3}{4}\pi_0) = 5\pi_2 \implies \pi_2 = \frac{3}{10}\pi_0
Durum olasılıklarını birbirleri cinsinden yazarak ortak bir bilinmeyene (π0\pi_0) bağlamak için.
3
Tüm olasılıkların toplamını 1'e eşitleme
π0+34π0+310π0=1\pi_0 + \frac{3}{4}\pi_0 + \frac{3}{10}\pi_0 = 1
Sistemin herhangi bir anda mutlaka {0,1,2}\{0, 1, 2\} durumlarından birinde bulunma zorunluluğundan.
4
Denklemi çözerek π2\pi_2 olasılığını hesaplama
π0(1+1520+620)=1  ⟹  4120π0=1  ⟹  π0=2041\pi_0(1 + \frac{15}{20} + \frac{6}{20}) = 1 \implies \frac{41}{20}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{20}{41}. Buradan π2=310×2041=641\pi_2 = \frac{3}{10} \times \frac{20}{41} = \frac{6}{41}
İstenen değer sistemin tam kapasite (2 arıza) durumunda olma olasılığıdır.

Anahtar Kavram

Sürekli Zamanlı Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bu konudan daha fazla soru