Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yürütülen bir hanehalkı bütçe anketinde, belirli bir zorunlu tüketim kalemine ait harcama tutarları, ortalaması θ\theta olan bir olasılık dağılımı ile modellenmektedir. Uzmanlar, ellerindeki büyük örneklemi kullanarak θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisini (MLE) θ^\hat{\theta} olarak hesaplamıştır.

Çalışmanın ilerleyen aşamalarında, ekonomik bir refah endeksinin hesaplanabilmesi için θ\theta'nın doğrusal olmayan g(θ)=θ2+ln⁡(θ)g(\theta) = \theta^2 + \ln(\theta) şeklindeki bir fonksiyonunun tahmin edilmesi gerekmiştir. Uzmanlar, En Çok Olabilirlik yönteminin özelliklerine dayanarak bu endeksin tahmin edicisini g(θ)^=θ^2+ln⁡(θ^)\widehat{g(\theta)} = \hat{\theta}^2 + \ln(\hat{\theta}) olarak önermiştir.

Verilen bu duruma ve en çok olabilirlik tahmin edicilerinin genel özelliklerine göre, önerilen g(θ)^\widehat{g(\theta)} tahmin edicisi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Değişmezlik (invariance) özelliği gereği g(θ)g(\theta)'nın en çok olabilirlik tahmin edicisidir ve tutarlı (consistent) bir tahmin edici olmasına rağmen sonlu örneklemlerde genellikle yanlıdır (biased).Cevap
  2. B
    θ^\hat{\theta} yansız bir tahmin edici olduğundan, değişmezlik özelliği g(θ)^\widehat{g(\theta)} tahmin edicisinin de her örneklem çapı için mutlak surette yansız ve tutarlı olmasını garanti eder.
  3. C
    En çok olabilirlik yönteminde değişmezlik kuralının geçerli olabilmesi için g(θ)g(\theta) fonksiyonunun mutlaka doğrusal bir fonksiyon olması gerekir, aksi takdirde önerilen bu tahmin edici kullanılamaz.
  4. D
    Delta metodu gereğince g(θ)^\widehat{g(\theta)}'nın asimptotik varyansı Cramer-Rao alt sınırına eşittir ve bu sınır doğrudan θ^\hat{\theta}'nın varyans değeri ile tamamen aynıdır.
  5. E
    Bu tahmin edicinin geçerli bir en çok olabilirlik tahmin edicisi olabilmesi için, veri setinin log-olabilirlik fonksiyonunun doğrudan g(θ)g(\theta)'ya göre türevlenip sıfıra eşitlenerek yeniden çözülmesi zorunludur.

Cevap

Doğru cevap, tahmin edicinin değişmezlik özelliği gereği en çok olabilirlik tahmin edicisi olduğunu, tutarlı kaldığını ancak sonlu örneklemlerde genellikle yanlı olduğunu belirten seçenektir.
En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin (MLE) en önemli pratik özelliklerinden biri 'değişmezlik' (invariance) özelliğidir. Bu özelliğe göre, bir parametrenin fonksiyonunun MLE'sini bulmak için parametrenin kendi MLE'sini fonksiyonda yerine koymak yeterlidir. Asimptotik özellikler incelendiğinde; Sürekli Fonksiyon Teoremi uyarınca tutarlılık özelliği korunur (örneklem çapı sonsuza giderken gerçek değere yakınsar). Ancak doğrusal olmayan g(θ)=θ2+ln⁡(θ)g(\theta) = \theta^2 + \ln(\theta) gibi fonksiyonlarda, Jensen eşitsizliği nedeniyle sonlu örneklemlerde yansızlık (unbiasedness) ortadan kalkar ve tahmin edici yanlı hale gelir.

Adım Adım Çözüm

1
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini hatırla.
Eğer θ^\hat{\theta}, θ\theta'nın MLE'si ise, herhangi bir g(θ)g(\theta) fonksiyonunun MLE'si g(θ^)g(\hat{\theta}) olur.
Bu özellik, karmaşık fonksiyonların tahmin edilmesinde olabilirlik fonksiyonunun yeniden çözülmesini engeller.
2
Tahmin edicinin asimptotik özelliklerinden olan 'tutarlılık (consistency)' kavramının dönüşümlerde nasıl etkilendiğini değerlendir.
Sürekli Fonksiyon Teoremi (Continuous Mapping Theorem) gereğince, θ^\hat{\theta} tutarlı ise sürekli bir gg fonksiyonu için g(θ^)g(\hat{\theta}) da tutarlıdır.
En çok olabilirlik tahmin edicileri genel düzenlilik koşulları altında tutarlıdır, dolayısıyla g(θ)^\widehat{g(\theta)} da tutarlı olacaktır.
3
Tahmin edicinin 'yansızlık (unbiasedness)' özelliğinin doğrusal olmayan (non-linear) dönüşümlerde nasıl etkilendiğini incele.
g(θ)=θ2+ln⁡(θ)g(\theta) = \theta^2 + \ln(\theta) doğrusal olmayan bir fonksiyondur. Jensen Eşitsizliği gereği, genelde E[g(θ^)]≠g(E[θ^])E[g(\hat{\theta})] \neq g(E[\hat{\theta}]) olur.
Bu nedenle, θ^\hat{\theta} yansız olsa bile, doğrusal olmayan bir fonksiyonun MLE'si genellikle küçük ve sonlu örneklemlerde yanlı (biased) olur, ancak asimptotik olarak yansızlığa yaklaşır.

Anahtar Kavram

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Değişmezliği (Invariance) ve Asimptotik Özellikler
Bu soruyu puanla

Konular

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

Bu konudan daha fazla soru