Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMarkov Eşitsizliği
Sadece pozitif değerler alan bir XX rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu (MGF) MX(t)=(1−3t)−2,t<13M_X(t) = (1-3t)^{-2}, \quad t < \frac{1}{3} olarak verilmiştir.

Markov eşitsizliği kullanılarak P(X≥18)P(X \ge 18) olasılığı için üst sınırlar belirlenmek istenmektedir. XX'in beklenen değeri kullanılarak elde edilen standart Markov üst sınırı S1S_1 ve XX'in karesel dönüşümü (X2X^2) üzerinden yine Markov eşitsizliği uygulanarak elde edilen üst sınır S2S_2 olduğuna göre, S1−S2S_1 - S_2 farkı kaçtır?

  1. 16\frac{1}{6}Cevap
  2. B
    524\frac{5}{24}
  3. C
    518\frac{5}{18}
  4. D
    554\frac{5}{54}
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

Hesaplanan S_1 (1/3) ve S_2 (1/6) değerlerinin farkı 1/6'dır.
Doğru cevap, MGF kullanılarak bulunan E[X]=6E[X]=6 ve E[X2]=54E[X^2]=54 momentlerinin Markov eşitsizliğine doğru biçimde yerleştirilmesiyle elde edilir. Standart eşitsizlik S1=6/18=1/3S_1 = 6/18 = 1/3 sonucunu verir. XX'in karesel dönüşümü için ise olay P(X2≥324)P(X^2 \ge 324) haline gelir ve sınır S2=54/324=1/6S_2 = 54/324 = 1/6 olur. Bu iki değerin farkı 1/3−1/6=1/61/3 - 1/6 = 1/6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Moment çıkaran fonksiyonun birinci türevini alarak beklenen değeri (E[X]E[X]) hesapla.
MX′(t)=−2(1−3t)−3⋅(−3)=6(1−3t)−3  ⟹  E[X]=MX′(0)=6M_X'(t) = -2(1-3t)^{-3} \cdot (-3) = 6(1-3t)^{-3} \implies E[X] = M_X'(0) = 6
Markov eşitsizliğinin standart formu için XX'in birinci momentine ihtiyaç vardır.
2
Moment çıkaran fonksiyonun ikinci türevini alarak karesel beklenen değeri (E[X2]E[X^2]) hesapla.
MX′′(t)=−18(1−3t)−4⋅(−3)=54(1−3t)−4  ⟹  E[X2]=MX′′(0)=54M_X''(t) = -18(1-3t)^{-4} \cdot (-3) = 54(1-3t)^{-4} \implies E[X^2] = M_X''(0) = 54
X2X^2 dönüşümü üzerinden Markov eşitsizliği kurabilmek için ikinci momente ihtiyaç vardır.
3
XX'in beklenen değeri üzerinden standart Markov üst sınırını (S1S_1) hesapla.
P(X≥18)≤E[X]18=618=13  ⟹  S1=13P(X \ge 18) \le \frac{E[X]}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \implies S_1 = \frac{1}{3}
Markov eşitsizliği formülü P(X≥a)≤E[X]aP(X \ge a) \le \frac{E[X]}{a} şeklindedir.
4
X2X^2 dönüşümü üzerinden Markov üst sınırını (S2S_2) hesapla.
X≥18  ⟹  X2≥324X \ge 18 \implies X^2 \ge 324. P(X2≥324)≤E[X2]324=54324=16  ⟹  S2=16P(X^2 \ge 324) \le \frac{E[X^2]}{324} = \frac{54}{324} = \frac{1}{6} \implies S_2 = \frac{1}{6}
XX pozitif tanımlı olduğundan X≥aX \ge a olayı ile X2≥a2X^2 \ge a^2 olayı denktir; monoton artan fonksiyonlar Markov eşitsizliği mantığıyla daha dar sınırlar üretebilir.
5
Bulunan S1S_1 ve S2S_2 değerlerinin farkını al.
S1−S2=13−16=26−16=16S_1 - S_2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}
Soruda iki sınır arasındaki fark istenmektedir.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonlar ve Markov Eşitsizliğinin Dönüşümlere Uygulanması
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Markov Eşitsizliği

Bu konudan daha fazla soru