Bir vergi dairesinde, günlük incelenen beyanname sayısı negatif olmayan bir X rastgele değ… — KPSS İstatistik

Bir vergi dairesinde, günlük incelenen beyanname sayısı negatif olmayan bir $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir ve bu değişkenin beklenen değeri $E[X] = 60$ 'tır.

Vergi dairesinin günlük toplam işlem hacmi (işlem puanı cinsinden), incelenen beyanname sayısına bağlı olarak $H = 40X + 1600$ denklemi ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, rastgele seçilen bir günde toplam işlem hacminin $6400$ puan veya daha fazla olma olasılığı için Markov eşitsizliği kullanılarak elde edilebilecek en kesin (en dar) üst sınır aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{3}{8}$
$\frac{1}{2}$ Cevap
C
$\frac{5}{8}$
D
$\frac{3}{4}$
E
$\frac{5}{6}$

Cevap

Rastgele seçilen bir günde toplam işlem hacminin 6400 puan veya daha fazla olma olasılığı için elde edilebilecek en kesin üst sınır 1/2'dir.

Markov eşitsizliği, sabit değerler içeren bir değişkene uygulandığında (doğrusal dönüşümlerde) her zaman en dar sınırı vermez. En kesin (en dar) üst sınırı bulmak için, eşitsizlik içerisindeki sabit değerleri karşı tarafa geçirerek eşitsizliği temel rastgele değişkene (

X

) indirgemek gerekir. İstenen durum

P(40X + 1600 \ge 6400)

eşitsizliğidir. Düzenleme yapıldığında bu olasılık

P(X \ge 120)

şeklini alır. X negatif olmayan bir değişken olduğu için Markov eşitsizliği doğrudan uygulanabilir:

P(X \ge 120) \le E[X]/120 = 60/120 = 1/2

. Bu değer, H üzerinden doğrudan hesaplanan 5/8'lik sınırdan daha kesindir.

Adım Adım Çözüm

İstenen olasılık ifadesini yalın X rastgele değişkeni cinsinden yeniden yazın.

P(H \ge 6400) = P(40X + 1600 \ge 6400) \implies P(40X \ge 4800) \implies P(X \ge 120)

Markov eşitsizliği, rastgele değişkenin üzerindeki doğrusal dönüşümler (özellikle sabit eklemeler) arındırıldığında, yani değişkenin minimum değerinin

0

'a daha yakın olduğu durumda çok daha dar ve kesin bir üst sınır verir.

Elde edilen yeni ifadeye (

X

) Markov eşitsizliğini uygulayın.

X \ge 0

olduğu bilindiğine göre,

P(X \ge 120) \le \frac{E[X]}{120}

yazılır.

Markov eşitsizliğinin temel kuralı, eşitsizliğin uygulandığı rastgele değişkenin sadece negatif olmayan değerler almasıdır.

Verilen beklenen değeri formülde yerine koyarak sonucu hesaplayın.

P(X \ge 120) \le \frac{60}{120} = \frac{1}{2}

Soruda

E[X] = 60

olarak verilmiştir. Bu durumda elde edilebilecek en kesin üst sınır 1/2 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Markov Eşitsizliği ve Değişken Dönüşümü Yoluyla Sınır Optimizasyonu

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru