Bir sigorta şirketinde, gelen hasar taleplerinin büyüklüğü X rassal değişkeni ile modellen… — KPSS İstatistik

Bir sigorta şirketinde, gelen hasar taleplerinin büyüklüğü $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0, \quad \theta > 0

$\theta$ parametresini tahmin etmek için rastgele seçilen $n$ adet bağımsız hasar talebinden ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) oluşan bir örneklem alınmıştır. Bir aktüerya uzmanı, $\theta$ parametresi için $T = \frac{n}{n+1}\bar{X}$ tahmin edicisini önermiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta$ için hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{1}{n+1}\theta^2$ Cevap
B
$\frac{n}{(n+1)^2}\theta^2$
C
$\frac{1}{(n+1)^2}\theta^2$
D
$\frac{n+2}{(n+1)^2}\theta^2$
E
$\frac{1}{n}\theta^2$

Cevap

Tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE), varyansı ile yan miktarının karesinin toplamı olan

\frac{1}{n+1}\theta^2

değerine eşittir.

Verilen üstel dağılımın beklenen değeri

E[X] = \theta

ve varyansı

Var(X) = \theta^2

'dir.

T = \frac{n}{n+1}\bar{X}

tahmin edicisinin hata kareler ortalamasını bulmak için MSE formülü

MSE(T) = Var(T) + [Yan(T)]^2

uygulanır. Beklenen değer

E[T] = \frac{n}{n+1}\theta

olduğundan yan miktarı

-\frac{1}{n+1}\theta

, karesi ise

\frac{1}{(n+1)^2}\theta^2

olur. Varyans

Var(T) = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 \frac{\theta^2}{n} = \frac{n}{(n+1)^2}\theta^2

hesaplanır. İki değer toplandığında

\frac{n}{(n+1)^2}\theta^2 + \frac{1}{(n+1)^2}\theta^2 = \frac{n+1}{(n+1)^2}\theta^2 = \frac{1}{n+1}\theta^2

doğru sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

X

rassal değişkeninin ve örneklem ortalamasının (

\bar{X}

) beklenen değer ile varyansını belirle.

E[X] = \theta

Var(X) = \theta^2

olduğu için

E[\bar{X}] = \theta

Var(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}

olur.

T

tahmin edicisinin özelliklerini bulmak için temel kitle ve örneklem istatistiklerine ihtiyaç vardır.

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesapla.

E[T] = E\left[\frac{n}{n+1}\bar{X}\right] = \frac{n}{n+1}\theta

. Yan miktarı:

Yan(T) = E[T] - \theta = -\frac{1}{n+1}\theta

MSE formülündeki

Yan(T)^2

terimini bulmak için yansızlık durumu kontrol edilmelidir.

T

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T) = Var\left(\frac{n}{n+1}\bar{X}\right) = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 Var(\bar{X}) = \frac{n^2}{(n+1)^2} \frac{\theta^2}{n} = \frac{n}{(n+1)^2}\theta^2

MSE formülündeki diğer bileşen olan varyans değerine ulaşmak gereklidir.

MSE formülünü (

MSE(T) = Var(T) + Yan(T)^2

) kullanarak sonucu bul.

MSE(T) = \frac{n}{(n+1)^2}\theta^2 + \left(-\frac{1}{n+1}\theta\right)^2 = \frac{n+1}{(n+1)^2}\theta^2 = \frac{1}{n+1}\theta^2

Tahmin edicinin toplam hatasını (MSE) elde etmek için varyans ve yan karesi toplanır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Hesaplaması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru