Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bir finansal analist, ortalaması sıfır ve varyansı θ\theta (θ>0\theta > 0) olan normal dağılıma sahip bağımsız X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele değişkenleri ile bir istatistiksel model kurmaktadır. Analist, bilinmeyen θ\theta varyans parametresini tahmin etmek için T=c∑i=1nXi2T = c \sum_{i=1}^{n} X_i^2 biçiminde bir tahmin edici önermektedir.

Buna göre, TT tahmin edicisinin hata kareler ortalamasını (MSE) en küçük yapan cc sabiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1n−1\frac{1}{n-1}
  2. B
    1n\frac{1}{n}
  3. C
    1n+1\frac{1}{n+1}
  4. 1n+2\frac{1}{n+2}Cevap
  5. E
    2n+2\frac{2}{n+2}

Cevap

Hata kareler ortalamasını (MSE) minimum yapan değer 1n+2\frac{1}{n+2} katsayısıdır.
Tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE), varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir (MSE=Var+Bias2MSE = Var + Bias^2). Verilen değişkenler için E[Xi2]=θE[X_i^2] = \theta ve Var(Xi2)=2θ2Var(X_i^2) = 2\theta^2 bilgileri kullanılarak TT istatistiğinin varyansı 2nc2θ22nc^2\theta^2 ve yanı θ(cn−1)\theta(cn-1) olarak bulunur. MSE denklemi cc'ye bağlı bir fonksiyon olarak yazılıp türevi sıfıra eşitlendiğinde c=1n+2c = \frac{1}{n+2} katsayısı MSE'yi minimum yapan değer olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
T=c∑i=1nXi2T = c \sum_{i=1}^n X_i^2 tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını hesaplamak.
Xi∼N(0,θ)X_i \sim N(0, \theta) olduğundan E[Xi2]=θE[X_i^2] = \theta ve Var(Xi2)=2θ2Var(X_i^2) = 2\theta^2 olur. Buradan E[T]=cnθE[T] = cn\theta ve Var(T)=c2(2nθ2)Var(T) = c^2(2n\theta^2) olarak bulunur.
Hata kareler ortalaması (MSE) hesaplaması için tahmin edicinin varyansına ve yan (bias) miktarına ihtiyaç vardır.
2
Tahmin edicinin yan (bias) miktarını belirlemek.
Bias(T)=E[T]−θ=cnθ−θ=θ(cn−1)Bias(T) = E[T] - \theta = cn\theta - \theta = \theta(cn - 1)
Bir tahmin edicinin MSE'si, varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.
3
MSE fonksiyonunu oluşturup minimum yapan cc değerini tespit etmek.
MSE(T)=2nc2θ2+θ2(cn−1)2=θ2[c2(n2+2n)−2cn+1]MSE(T) = 2nc^2\theta^2 + \theta^2(cn - 1)^2 = \theta^2[c^2(n^2 + 2n) - 2cn + 1]. Bu ifadenin cc'ye göre türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde 2c(n2+2n)−2n=0  ⟹  c=1n+22c(n^2 + 2n) - 2n = 0 \implies c = \frac{1}{n+2} elde edilir.
Sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyonun minimum değerini bulmak için birinci türevi sıfıra eşitlenir.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Minimizasyonu

Alternatif Yöntem

Xi∼N(0,θ)X_i \sim N(0, \theta) olduğundan Xi/θ∼N(0,1)X_i/\sqrt{\theta} \sim N(0,1) ve ∑(Xi2/θ)∼χn2\sum (X_i^2/\theta) \sim \chi^2_n bağıntısı kullanılarak varyans ve beklenen değer hesaplamaları, nn serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının özellikleri (E[Q]=n,Var(Q)=2nE[Q]=n, Var(Q)=2n) üzerinden daha hızlı bir şekilde yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru