Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDurağanlık Kavramı ve Birim Kök Testleri (Dickey-Fuller vb.)

Bir araştırmacı, zaman serisi analizi kapsamında incelediği YtY_t değişkeninin durağanlık özelliklerini belirlemeye çalışmaktadır. Gerçekte YtY_t serisi, Yt=α+βt+utY_t = \alpha + \beta t + u_t deterministik veri oluşturma sürecine sahip trend-durağan (trend-stationary) bir seridir ve buradaki utu_t terimi beklenen değeri sıfır, varyansı sabit olan bir beyaz gürültü (white noise) sürecini ifade etmektedir. Ancak araştırmacı, serinin zaman yolu grafiğine aldanarak serinin fark-durağan (difference-stationary) olduğuna karar vermiş ve seriyi durağanlaştırmak amacıyla birinci dereceden fark alma (ΔYt\Delta Y_t) işlemini uygulamıştır.

Bu aşırı fark alma (over-differencing) işleminin sonucunda elde edilen ΔYt\Delta Y_t serisinin teorik özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Farkı alınmış serinin hata terimi sürecinde tersinir olmayan (non-invertible) bir hareketli ortalama (MA) bileşeni ortaya çıkar.Cevap
  2. B
    Farkı alınmış serinin varyansı zaman içinde sonsuza doğru artarak rastgele yürüyüş (random walk) özelliği gösterir.
  3. C
    Durağanlaştırma işlemi sonucunda serinin beklenen değeri (ortalaması), orijinal modeldeki deterministik trend parametresinden bağımsız olarak sıfıra eşitlenir.
  4. D
    Oluşan yeni serinin birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısı ρ1\rho_1, teorik olarak +1+1 değerini alarak mükemmel pozitif otokorelasyon sergiler.
  5. E
    Gereksiz fark alma işlemi, serideki otokorelasyonu tamamen ortadan kaldırarak seriyi bağımsız dağılımlı bir beyaz gürültü sürecine dönüştürür.

Cevap

Farkı alınmış serinin hata terimi sürecinde tersinir olmayan (non-invertible) bir hareketli ortalama (MA) bileşeninin ortaya çıkmasıdır.
Trend-durağan bir serinin (örneğin Yt=α+βt+utY_t = \alpha + \beta t + u_t) birinci farkı alındığında denklem ΔYt=β+ut−ut−1\Delta Y_t = \beta + u_t - u_{t-1} hâline gelir. Buradaki ut−ut−1u_t - u_{t-1} terimi, hareketli ortalama parametresi θ=1\theta=1 olan bir MA(1) sürecidir. Bu MA sürecinin karakteristik denkleminin kökü (1−L=0⇒L=11 - L = 0 \Rightarrow L=1) birim çemberin üzerinde yer aldığı için, oluşan yeni süreç tersinir (non-invertible) değildir. Bu durum, serinin bir sonsuz AR süreci olarak ifade edilememesi anlamına gelir ve aşırı fark almanın en bilinen teorik sonucudur.

Adım Adım Çözüm

1
Yt=α+βt+utY_t = \alpha + \beta t + u_t deterministik trend modelinin birinci dereceden farkı (ΔYt=Yt−Yt−1\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}) matematiksel olarak hesaplanır.
ΔYt=(α+βt+ut)−(α+β(t−1)+ut−1)=β+ut−ut−1\Delta Y_t = (\alpha + \beta t + u_t) - (\alpha + \beta(t-1) + u_{t-1}) = \beta + u_t - u_{t-1} denklemi elde edilir.
Aşırı fark alma işleminin serinin yapısını nasıl değiştirdiğini analitik olarak görebilmek için.
2
Elde edilen fark denkleminin beklenen değer ve varyans gibi istatistiksel özellikleri incelenir.
Serinin yeni ortalaması E(ΔYt)=βE(\Delta Y_t) = \beta ve yeni varyansı Var(ΔYt)=2σ2Var(\Delta Y_t) = 2\sigma^2 olarak bulunur. Beklenen değer sıfır olmamış ve varyans sonsuza gitmemiştir.
Yanlış seçeneklerdeki ortalama ve varyans iddialarının geçersizliğini kanıtlamak için.
3
Hata terimi kısmı olan ut−ut−1u_t - u_{t-1} sürecinin hareketli ortalama özellikleri ve tersinirlik (invertibility) durumu analiz edilir.
Bu hata süreci θ=1\theta = 1 parametresine sahip bir MA(1) sürecidir. Karakteristik denklemin kökü (1−1⋅L=0⇒L=11 - 1 \cdot L = 0 \Rightarrow L = 1) birim çemberin tam üzerinde yer aldığı için süreç tersinir değildir.
Doğru yanıtın dayandığı temel istatistiksel prensibi kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Trend-durağan Serilerde Aşırı Fark Alma (Over-differencing) ve Tersinirlik
Bu soruyu puanla

Konular

Durağanlık Kavramı ve Birim Kök Testleri (Dickey-Fuller vb.)

Bu konudan daha fazla soru