Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBileşen Sayısını Belirleme Kriterleri

Bir araştırmacı, farklı birimlerde ölçülmüş (örneğin; yaş, yıllık gelir, vücut ağırlığı vb.) p=6p=6 değişkenden oluşan bir veri seti üzerinde Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Araştırmacı analizi kovaryans matrisi üzerinden gerçekleştirmiş ve matrisin özdeğerlerini sırasıyla λ1=540\lambda_1 = 540, λ2=180\lambda_2 = 180, λ3=2.4\lambda_3 = 2.4, λ4=1.1\lambda_4 = 1.1, λ5=0.3\lambda_5 = 0.3, λ6=0.2\lambda_6 = 0.2 olarak hesaplamıştır.

Bileşen sayısına karar verme aşamasında araştırmacı şu adımları izlemiştir:
* Özdeğeri 1'den büyük olan bileşenlerin anlamlı olduğunu öngören Kaiser kriterini baz alarak ilk 4 bileşeni seçmiştir.
* İlk iki bileşenin açıkladığı kümülatif varyans oranını 540+1806\frac{540 + 180}{6} formülüyle hesaplamıştır.
* Yamaç grafiğinde (Scree plot) 3. özdeğerden sonra belirgin bir kırılma (dirsek) noktası gözlemlemiştir.

Araştırmacının yürüttüğü bu süreç ve kullandığı kriterler değerlendirildiğinde aşağıdakilerden hangisi istatistiksel olarak söylenebilir?

  1. A
    Değişkenlerin farklı birimlerde olması büyük varyanslı değişkenlerin analizde ağırlık kazanmasını gerektirdiğinden kovaryans matrisinin seçilmesi doğrudur; ancak araştırmacının tek hatası, varyans oranını hesaplarken payda kısmına değişken sayısını yazmasıdır.
  2. B
    Temel Bileşenler Analizi'nin asıl amacı değişkenlerin ardındaki gizil (latent) yapıyı ve hata varyansını modellemek olduğundan, araştırmacı bileşen sayısına karar verirken yamaç grafiği ve Kaiser kriterini kullanmak yerine doğrudan döndürülmüş bileşen matrisini yorumlamalıdır.
  3. Farklı birimlerdeki değişkenler için analizin korelasyon matrisi yerine kovaryans matrisiyle yapılması temel bir ölçeklendirme hatasıdır; ayrıca kovaryans matrisi özdeğerlerine Kaiser kriterinin (λ>1\lambda > 1) uygulanması ve açıklanan varyans hesabında paydanın p=6p=6 alınması istatistiksel olarak yanlıştır.Cevap
  4. D
    Hesaplanan λ1=540\lambda_1 = 540 ve λ2=180\lambda_2 = 180 değerleri doğrudan ilgili bileşenlerin veri setinde yüzde olarak açıkladığı varyans miktarlarını ifade eder; bu nedenle kümülatif varyans oranını bulmak için özdeğerlerin değişken sayısına (6) bölünmesine gerek yoktur.

Cevap

Farklı birimlerdeki değişkenler için analizin korelasyon matrisi yerine kovaryans matrisiyle yapılması ölçeklendirme hatasıdır; ayrıca kovaryans matrisi kullanıldığında Kaiser kriterinin uygulanması ve varyans hesabında paydanın 6 alınması kavramsal olarak yanlıştır.
Temel Bileşenler Analizi'nde değişkenler farklı birimlerle ölçüldüğünde veri mutlaka standardize edilmeli ve korelasyon matrisi kullanılmalıdır. Aksi halde varyansı büyük olan değişkenler analizi domine eder (ölçeklendirme hatası). Korelasyon matrisinin köşegen elemanları daima 1 olduğu için toplam varyans (matrisin izi) değişken sayısına (pp) eşittir ve ortalama özdeğer 1'dir. Kaiser kriteri (λ>1\lambda > 1) tam olarak bu matematiksel gerçeğe dayanır ve yalnızca korelasyon matrisi için geçerlidir. Araştırmacının kovaryans matrisi kullanıp Kaiser kriterini uygulaması kavramsal bir hatadır. Ayrıca, varyans açıklama oranı hesaplanırken özdeğer, matrisin izine (tüm özdeğerlerin toplamına) bölünmelidir; kovaryans matrisinde toplam varyans değişken sayısı olan 6'ya eşit değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Kullanılan veri seti birimleri ile seçilen matris türünün uyumunu değerlendirmek.
Değişkenler farklı birimlerde olduğundan kovaryans matrisi kullanılması ölçeklendirme hatasına yol açar.
Farklı ölçüm birimlerine sahip değişkenlerin analizde eşit ağırlıkla temsil edilebilmesi için verilerin standardize edilmesi (korelasyon matrisi kullanılması) gerekir. Aksi halde, yıllık gelir gibi varyansı büyük değişkenler analizi domine eder.
2
Kaiser kriterinin (özdeğer > 1) uygulanan matris türüne uygunluğunu test etmek.
Kaiser kriteri kovaryans matrisinde kullanılamaz.
Kaiser kriteri, standardize edilmiş değişkenlerin ortalama özdeğerinin 1 olması mantığına dayanır (korelasyon matrisinde iz pp'ye eşittir). Kovaryans matrisinde toplam varyans pp'ye eşit olmadığı için 1 eşik değeri anlamsızdır.
3
Kümülatif açıklanan varyans oranının hesaplanma yöntemini kontrol etmek.
Araştırmacının hesaplamasında kullandığı payda (6) yanlıştır.
Açıklanan varyans oranı, ilgili özdeğerlerin matrisin izine (tüm özdeğerlerin toplamına) bölünmesiyle bulunur. Kovaryans matrisinde iz p=6p=6'ya değil, 724'e eşittir.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde Matris Seçimi ve Bileşen Belirleme Kriterleri Arasındaki Matematiksel İlişkiler
Bu soruyu puanla

Konular

Bileşen Sayısını Belirleme Kriterleri

Bu konudan daha fazla soru