Examkin

Soru

Zorluk: ZorRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

Bir tedarik zinciri ağında, merkezi bir depodan zıt yönlerdeki iki farklı bölgeye (Kuzey ve Güney) gönderilen sevkiyatların planlanan varış saatinden sapma süreleri (saat cinsinden) XX ve YY sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Negatif değerler erken varışı, pozitif değerler ise gecikmeyi ifade etmektedir.

Bu sapma sürelerine ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu:
f(x,y)=12f(x,y) = \frac{1}{2}
Tanım kümesi (destek kümesi): ∣x∣+∣y∣≤1|x| + |y| \leq 1
olarak verilmiştir.

Buna göre, XX ve YY değişkenlerinin bağımsızlığı ve aralarındaki doğrusal ilişki (kovaryans) durumu hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları hesaplanırken integral sınırları XX ve YY değerlerinden bağımsız sabitler olduğu için bu değişkenler bağımsızdır.
  2. B
    Aralarındaki kovaryans değeri sıfıra eşit olarak hesaplandığı için, değişkenler hem doğrusal olarak ilişkisizdir hem de istatistiksel olarak tamamen bağımsızdır.
  3. Tanımlı oldukları destek kümesi dikdörtgensel bir bölge (kartezyen çarpım) oluşturmadığı için değişkenler bağımlıdır; ancak simetriden dolayı aralarındaki kovaryans sıfırdır.Cevap
  4. D
    Destek kümesini belirleyen eşitsizlik nedeniyle XX ve YY'nin aynı anda uç değerler alması imkansız (ayrık) olduğundan, bu iki değişken istatistiksel olarak birbirlerinden bağımsızdır.
  5. E
    Değişkenler birbirine bağımlı olduğu için, her durumda E[XY]≠E[X]E[Y]E[XY] \neq E[X]E[Y] eşitsizliği sağlanmak zorundadır ve bu durum aralarında sıfırdan farklı bir kovaryans yaratır.

Cevap

Değişkenlerin tanımlı oldukları bölge dikdörtgen şeklinde olmadığı için birbirlerine bağımlıdırlar; ancak bölgenin ve yoğunluk fonksiyonunun orijine göre simetrik olması sebebiyle aralarındaki kovaryans sıfırdır.
Verilen soruda değişkenlerin tanımlı olduğu alan ∣x∣+∣y∣≤1|x| + |y| \leq 1 eşitsizliği ile belirlenen bir elmas şeklidir. İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun ve destek kümesinin ayrı ayrı XX ve YY'ye bağlı iki fonksiyonun çarpımı şeklinde yazılabilmesi gerekir. Destek kümesi dikdörtgensel olmadığı için XX ve YY kesinlikle bağımlıdır. Bununla birlikte, destek bölgesi koordinat eksenlerine göre simetrik olduğundan, E[XY]E[XY], E[X]E[X] ve E[Y]E[Y] integrallerinin sonucu sıfırdır ve bu durum kovaryansın sıfır çıkmasına sebep olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesi (domain) incelenir.
∣x∣+∣y∣≤1|x| + |y| \leq 1 eşitsizliği koordinat düzleminde köşeleri (1,0),(0,1),(−1,0),(0,−1)(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1) olan bir eşkenar dörtgen (elmas) belirtir.
Değişkenlerin bağımsızlığını test etmenin ilk adımı, ortak destek kümesinin bağımsız parçalara (kartezyen çarpıma) ayrılıp ayrılamadığını kontrol etmektir.
2
Bağımsızlık durumu destek kümesinin geometrisi üzerinden değerlendirilir.
Destek kümesi X∈[−1,1]X \in [-1, 1] ve Y∈[−1,1]Y \in [-1, 1] aralıklarının direkt çarpımı (bir kare) değildir. XX'in aldığı bir değer, YY'nin alabileceği değerlerin sınırlarını daraltır. Bu nedenle XX ve YY bağımlıdır.
Bağımsız değişkenlerin ortak destek kümesi her zaman A×BA \times B formatında (dikdörtgensel) olmak zorundadır.
3
Kovaryans formülünü uygulamak için beklenen değerler (E[X]E[X], E[Y]E[Y], E[XY]E[XY]) hesaplanır.
Destek kümesi hem x eksenine hem de y eksenine göre simetriktir ve f(x,y)f(x,y) sabittir. Tek fonksiyonlar olan xx, yy ve x⋅yx\cdot y'nin bu simetrik bölge üzerindeki integralleri sıfırdır. (E[X]=0,E[Y]=0,E[XY]=0E[X]=0, E[Y]=0, E[XY]=0)
Kovaryansın formülü Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] şeklindedir ve doğrudan doğrusal ilişkiyi ölçer.
4
Elde edilen verilerle kovaryans hesaplanır ve sonuç yorumlanır.
Cov(X,Y)=0−(0×0)=0Cov(X,Y) = 0 - (0 \times 0) = 0. XX ve YY doğrusal olarak ilişkisizdir, ancak 2. adımda kanıtlandığı üzere birbirlerine bağımlıdır.
Sıfır kovaryans bağımsızlığı garanti etmez; bu problem klasik bir 'ilişkisiz fakat bağımlı' değişken örneğidir.

Anahtar Kavram

Rastgele değişkenlerde destek kümesinin (tanım bölgesinin) dikdörtgensel olmamasının mutlak bağımlılık yaratması ve sıfır kovaryansın bağımsızlık garantisi vermemesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı