X ve Y sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y) ile veri… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x,y)$ ile verilmiştir.

Buna göre, bu rastgele değişkenlerin bağımsızlığı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
$X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans sıfır ( $Cov(X,Y) = 0$ ) ise, bu değişkenler kesinlikle bağımsızdır.
B
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x,y) = 8xy$ ve tanım kümesi $0 < x < y < 1$ olarak verilen $X$ ve $Y$ değişkenleri, fonksiyon formülü $x$ ve $y$ 'nin çarpanlarına ayrılabildiği için bağımsızdır.
C
$X$ ve $Y$ bağımsız rastgele değişkenler ise, bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının toplamına eşittir ( $f(x,y) = f_X(x) + f_Y(y)$ ).
$X$ ve $Y$ bağımsız sürekli rastgele değişkenler ise, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun sıfırdan farklı olduğu tanım bölgesi, değişkenlerin marjinal tanım aralıklarının kartezyen çarpımı (dikdörtgensel bir bölge) olmak zorundadır.Cevap
E
$X$ ve $Y$ bağımsız değişkenler olduğunda, bu değişkenlerin çarpımının beklenen değeri, beklenen değerlerinin toplamına eşittir ( $E[XY] = E[X] + E[Y]$ ).

Cevap

Bağımsız sürekli rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanım bölgesi, değişkenlerin marjinal tanım aralıklarının kartezyen çarpımı (dikdörtgensel bir bölge) olmak zorundadır.

İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olması için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonlarının

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

eşitliğini sağlaması gerekir. Bu eşitliğin anlamlı ve tutarlı olabilmesi için

X

'in alabileceği değer aralığının

Y

'den,

Y

'nin alabileceği değer aralığının da

X

'ten etkilenmemesi şarttır. Bu istatistiksel gereklilik, geometrik düzlemde temsil edildiğinde, her iki değişkenin tanımlı olduğu destek kümesinin, sınırları eksenlere tam paralel olan bir dikdörtgen (veya kartezyen çarpım bölgesi) oluşturmasını zorunlu kılar.

Adım Adım Çözüm

Sürekli rastgele değişkenlerde bağımsızlık şartını ve bu şartın tanım kümesi (destek bölgesi) üzerindeki matematiksel etkisini analiz etmek.

Bağımsızlık şartı olan

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

eşitliğinin sağlanabilmesi için,

x

'in sınır değerlerinin

y

'den,

y

'nin sınır değerlerinin de

x

'ten bağımsız olması gerektiği sonucuna varılır.

Bir değişkenin aldığı değer, diğerinin alabileceği değer aralığını daraltıyor veya değiştiriyorsa (örneğin

x < y

gibi), bu iki değişken istatistiksel olarak birbirine bağımlıdır.

Tanım sınırlarının birbirinden bağımsız olmasının geometrik karşılığını belirlemek.

a \leq x \leq b

c \leq y \leq d

şeklindeki bağımsız sınırların, analitik düzlemde her zaman kenarları

x

y

eksenlerine paralel olan bir dikdörtgen (veya kartezyen çarpım bölgesi) oluşturduğu tespit edilir.

Geometrik olarak destek kümesinin dikdörtgen dışında bir şekil (üçgen, daire vb.) olması, değişkenlerin birbirini sınırladığını ve dolayısıyla bağımlı olduklarını kanıtlar.

Diğer ifadelerdeki yaygın kavram yanılgılarını (kovaryansın sıfır olması, fonksiyonun sadece çarpanlarına ayrılması, toplam ve çarpım kurallarının karıştırılması) elemek.

Sıfır kovaryansın bağımsızlığı garanti etmediği, fonksiyon formülünün çarpanlarına ayrılmasının değişken sınırlarını (örneğin

x < y

) yok saymaya yetmeyeceği ve beklenen değer/olasılık işlemlerinde çarpım kurallarının kullanılması gerektiği doğrulanarak hatalı seçenekler elenir.

Olasılık teorisindeki özel teoremlerin ön koşullarını ve tanımlarını (kovaryans-bağımsızlık ilişkisi, beklenen değer doğrusallığı) tam ve eksiksiz uygulamak doğru cevaba ulaşmayı sağlar.

Anahtar Kavram

Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonunda Tanım Kümesinin (Destek Bölgesi) Bağımsızlık Üzerindeki Etkisi

Tahmini Süre:1m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular