Çok değişkenli olasılık dağılımlarında, iki sürekli rastgele değişkenin (X ve Y) birbirler… — KPSS İstatistik

Çok değişkenli olasılık dağılımlarında, iki sürekli rastgele değişkenin ( $X$ ve $Y$ ) birbirlerinden bağımsız olup olmadığının incelenmesi hem analitik hem de kavramsal düzeyde değerlendirilir. Bir çalışmada, $(X, Y)$ vektörünün ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x,y)$ ve bu fonksiyonun pozitif değerler aldığı destek kümesi $S$ tanımlanmıştır.

Bu değişkenlerin bağımsızlık durumu ve istatistiksel özellikleri göz önüne alındığında, aşağıdaki yargılardan hangisi istisnasız olarak doğrudur?

A
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun $y$ 'nin tüm tanımlı olduğu değerler üzerinden integrali ( $\int f(x,y) dy$ ), her zaman $Y$ 'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu ( $f_Y(y)$ ) üretir.
Eğer $S$ destek kümesi, $x$ ve $y$ sınırlarının birbirine bağlı olduğu (kartezyen çarpım şeklinde ifade edilemeyen) bir bölge ise, $f(x,y)$ fonksiyonunun formundan bağımsız olarak $X$ ve $Y$ bağımlı değişkenlerdir.Cevap
C
$X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans sıfır ( $\text{Cov}(X,Y) = 0$ ) ise, bu değişkenler kesinlikle bağımsızdır ve aralarında hiçbir ilişki yoktur.
D
İki rastgele değişkenin bağımsız olması, bu değişkenlerin tanımlandığı temel olayların matematiksel olarak ayrık (kesişimlerinin boş küme) olması ile tamamen aynı anlama gelir.
E
$X$ ve $Y$ bağımlı rastgele değişkenler olsalar dahi, koşullu beklenen değer $E[X|Y=y]$ her zaman $y$ 'nin aldığı değerden bağımsız sabit bir sayısal değere eşittir.

Cevap

Doğru ifade, destek kümesinin sınırlarının birbirine bağlı olması durumunda (kartezyen çarpım şeklinde yazılamayan bölgeler) değişkenlerin kesinlikle bağımlı olacağını belirten seçenektir.

İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için temel iki koşul vardır: Birincisi

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

eşitliği, ikincisi ise bu fonksiyonun tanımlı olduğu

S

bölgesinin sınırlarının birbirine bağlı olmamasıdır (örneğin

0 < x < 1

0 < y < 1

gibi). Eğer bir değişkenin sınırları diğerine bağlıysa (örneğin

0 < y < x

), alan kartezyen çarpım şeklinde ifade edilemez ve değişkenler, yoğunluk fonksiyonlarının matematiksel formundan bağımsız olarak birbirine bağımlı hale gelir.

Adım Adım Çözüm

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsızlık şartlarını analitik olarak incele.

Bağımsızlık için hem

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

eşitliğinin sağlanması hem de tanımlı olunan

S

kümesinin kartezyen çarpım (

A \times B

) formatında olması gerektiği belirlenir.

Destek kümesindeki bir değişkenin sınırları diğer değişkene bağlıysa (örneğin üçgensel bölge), marjinal dağılımların sınırları bağımsız olarak belirlenemez.

Kovaryans ve bağımsızlık ilişkisinin istisnalarını değerlendir.

Kovaryansın sıfır olmasının sadece doğrusal ilişki yokluğunu ifade ettiği, genel bir bağımsızlık kanıtı olmadığı tespit edilir.

Öğrencilerin sıklıkla düştüğü hata olan 'Sıfır kovaryans bağımsızlığı gerektirir' yargısı sadece çok değişkenli normal dağılımda geçerlidir.

Marjinal olasılık fonksiyonlarının integral kurallarını doğrula.

Ortak PDF'in

y

'ye göre integralinin

f_X(x)

'i vereceği hatırlanır.

Hangi değişkene göre integral alınıyorsa o değişken yok edilir, geriye diğer değişken kalır.

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerde bağımsızlık için destek kümesi geometrisinin (kartezyen çarpım) zorunluluğu

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular