Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

İstatistiksel analizlerde, iki rastgele değişken arasındaki ilişkinin incelenmesinde kovaryans önemli bir kavramdır.

XX standart normal dağılıma sahip bir rastgele değişken (X∼N(0,1)X \sim N(0,1)) olmak üzere, yeni bir YY rastgele değişkeni Y=X2Y = X^2 dönüşümü ile tanımlanmıştır.

Bu XX ve YY rastgele değişkenlerinin kovaryansı (Cov(X,Y)Cov(X,Y)) ve aralarındaki bağımsızlık durumu hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. A
    YY değişkeni tamamen XX'e bağlı olduğundan aralarında mükemmel bir korelasyon vardır ve bu nedenle Cov(X,Y)=1Cov(X,Y) = 1'dir.
  2. B
    Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0 olarak hesaplanır ve kovaryansın sıfır olması bu iki değişkenin kesinlikle bağımsız olduğunu gösterir.
  3. Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0'dır; ancak aralarında karesel (Y=X2Y=X^2) tam bir fonksiyonel ilişki bulunduğu için XX ve YY bağımlı rastgele değişkenlerdir.Cevap
  4. D
    XX ve YY bağımlı rastgele değişkenler olduğundan, çarpımlarının beklenen değeri E[XY]E[XY], hiçbir zaman E[X]E[Y]E[X]E[Y]'ye eşit olamaz ve Cov(X,Y)≠0Cov(X,Y) \neq 0'dır.
  5. E
    XX simetrik bir dağılıma sahip olup E[X]=0E[X]=0'dır; ancak Y=X2Y = X^2 her zaman pozitif olduğundan kovaryans pozitif çıkar ve aralarında pozitif bir ilişki vardır.

Cevap

Doğru cevap, Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0'dır; ancak aralarında karesel (Y=X2Y=X^2) tam bir fonksiyonel ilişki bulunduğu için XX ve YY bağımlı rastgele değişkenlerdir ifadesini içeren seçenektir.
Verilen problemde, E[X]=0E[X]=0 ve E[X3]=0E[X^3]=0 özellikleri sayesinde kovaryans sıfır olarak hesaplanır. Ancak Y=X2Y = X^2 denklemi, XX'in değeri bilindiğinde YY'nin değerinin kesin olarak bilineceğini gösterir. Bu tam fonksiyonel bağımlılık durumudur ve kovaryansın sıfır olması sadece bu ilişkinin doğrusal olmamasından kaynaklanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kovaryans formülünü yazmak.
Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]
Kovaryansı hesaplamak için XX, YY ve XYXY'nin beklenen değerlerine ihtiyaç vardır.
2
XX ve YY'nin beklenen değerlerini belirlemek.
X∼N(0,1)X \sim N(0,1) olduğu için E[X]=0E[X] = 0'dır. Y=X2Y = X^2 olduğu için E[Y]=E[X2]=1E[Y] = E[X^2] = 1'dir.
Standart normal dağılımın ortalaması 0 ve varyansı 1'dir (E[X2]−(E[X])2=1E[X^2] - (E[X])^2 = 1).
3
XYXY'nin beklenen değerini hesaplamak.
E[XY]=E[X⋅X2]=E[X3]=0E[XY] = E[X \cdot X^2] = E[X^3] = 0
Standart normal dağılım simetrik bir dağılımdır, bu nedenle tüm tek dereceli momentleri sıfıra eşittir.
4
Kovaryansı hesaplamak ve bağımsızlık durumunu yorumlamak.
Cov(X,Y)=0−(0⋅1)=0Cov(X,Y) = 0 - (0 \cdot 1) = 0. YY, tamamen XX'e bağlı (Y=X2Y = X^2) bir değişken olduğu için XX ve YY bağımlıdır.
Kovaryansın sıfır olması sadece aralarında doğrusal bir ilişki olmadığını gösterir. Herhangi bir (örneğin karesel) bağımlılık türü var olduğu için bu iki değişken bağımsız olamaz.

Anahtar Kavram

Sıfır Kovaryansın Bağımsızlığı Garanti Etmemesi
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı