Büyük ölçekli bir lojistik operasyonunda, sevk edilen bir kargonun hedeflenen gün içinde t… — KPSS İstatistik

Büyük ölçekli bir lojistik operasyonunda, sevk edilen bir kargonun hedeflenen gün içinde teslim edilebilme durumu $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Teslimatın başarılı olması $X=1$ , gecikmesi ise $X=0$ olarak tanımlanmış olup, zamanında teslimat olasılığı $p \in (0,1)$ değerine sahiptir.

Süreci optimize etmeye çalışan bir mühendis, $X$ değişkenini kullanarak $Y = aX + b$ şeklinde doğrusal bir dönüşüm tanımlamıştır ( $a, b \in \mathbb{R}$ ). Yapılan teorik incelemeler sonucunda $Y$ değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunun (MGF)

M_Y(t) = (1-p)e^{-pt} + p e^{(1-p)t}

olduğu görülmüştür.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin varyansı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A
$p^2$
B
$p$
$p(1-p)$ Cevap
D
$p(1+p)$
E
$\sqrt{p}$

Cevap

Y

rastgele değişkeninin varyansı

p(1-p)

ifadesine eşittir.

Verilen

Y = aX + b

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu genel ifadeyle

M_Y(t) = e^{tb} [(1-p) + pe^{ta}]

şeklindedir. Sorudaki MGF ifadesi ile karşılaştırıldığında,

e

'nin kuvvetleri eşleştirildiğinde

b = -p

a+b = 1-p

bağıntıları elde edilir. Buradan

a = 1

b = -p

bulunur. Dolayısıyla mühendisin uyguladığı dönüşüm

Y = X - p

'dir. Varyansın temel özelliklerinden dolayı sabit sayıların varyansa etkisi yoktur; yani

Var(Y) = Var(X - p) = 1^2 \cdot Var(X)

olur.

X

bir Bernoulli değişkeni olduğu için varyansı doğrudan

p(1-p)

'ye eşittir.

Adım Adım Çözüm

Y = aX + b

değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunun genel teorik formülünü yazmak.

M_Y(t) = E[e^{t(aX+b)}] = e^{tb} E[e^{taX}] = e^{tb} [(1-p) + pe^{ta}] = (1-p)e^{tb} + pe^{t(a+b)}

Soruda verilen spesifik MGF yapısı ile katsayıları eşleştirebilmek için doğrusal dönüşümün genel MGF formatını belirlemek gerekir.

Teorik MGF ile soruda verilen MGF'yi eşleştirerek

a

b

katsayılarını hesaplamak.

(1-p)e^{tb} + pe^{t(a+b)} = (1-p)e^{-pt} + p e^{(1-p)t}

eşitliğinden

b = -p

a+b = 1-p

(buradan

a = 1

) elde edilir.

Dönüşüm katsayılarını (

a

b

) bularak

Y

rastgele değişkeninin tam olarak

Y = X - p

şeklinde tanımlandığını tespit etmek için.

Y

değişkeninin varyansını varyansın doğrusal dönüşüm özellikleri kullanılarak hesaplamak.

Y = X - p

olduğundan,

Var(Y) = Var(X - p) = Var(X) = p(1-p)

olarak bulunur.

Doğrusal bir dönüşümde

Var(aX+b) = a^2Var(X)

kuralı geçerlidir. Bernoulli dağılımının varyansı

p(1-p)

'dir ve toplama/çıkarma işleminin varyansa etkisi yoktur.

Anahtar Kavram

Bernoulli Dağılımının Moment Çıkaran Fonksiyonu ve Doğrusal Dönüşümlerin Varyansa Etkisi

Alternatif Yöntem

Varyansı bulmak için moment çıkaran fonksiyonun türevleri de doğrudan kullanılabilir. MGF'nin t'ye göre birinci türevinde t=0 yazıldığında beklenen değer (

E[Y] = M_Y'(0) = 0

), ikinci türevinde t=0 yazıldığında ise ikinci moment (

E[Y^2] = M_Y''(0) = p(1-p)

) bulunur. Daha sonra

Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = p(1-p) - 0 = p(1-p)

eşitliğiyle doğrudan aynı sonuca ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru