Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsimptotik Yansızlık
Bir malzemenin dayanıklılık testinde elde edilen kırılma direnci değerlerinin, 0<x<θ0 < x < \theta aralığında tanımlı ve olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)=2xθ2f(x; \theta) = \frac{2x}{\theta^2}
olan bir dağılıma uyduğu varsayılmaktadır. Bir araştırmacı, bu dağılımdan elde ettiği nn hacimli (n>1n > 1) bağımsız rastgele örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) üzerinden θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla en çok olabilirlik tahmin edicisi olan θ^=max⁡(X1,X2,…,Xn)\hat{\theta} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) istatistiğini kullanmaya karar veriyor.

Buna göre, θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin beklenen değeri ve θ\theta parametresi için asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. E(θ^)=2n2n+1θE(\hat{\theta}) = \frac{2n}{2n+1}\theta olup, tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.Cevap
  2. B
    E(θ^)=θE(\hat{\theta}) = \theta olup, tahmin edici her örneklem çapı için yansızdır ve dolayısıyla asimptotik yansızdır.
  3. C
    E(θ^)=nn+1θE(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1}\theta olup, tahmin edici yanlıdır ancak asimptotik yansızdır.
  4. D
    E(θ^)=2n2n+1θE(\hat{\theta}) = \frac{2n}{2n+1}\theta olup, tahmin edici yanlıdır ve asimptotik yansız değildir.
  5. E
    E(θ^)=2n+12nθE(\hat{\theta}) = \frac{2n+1}{2n}\theta olup, tahmin edici yanlıdır ve asimptotik yansız değildir.

Cevap

θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin beklenen değeri 2n2n+1θ\frac{2n}{2n+1}\theta olduğu için yanlıdır, limit durumunda θ\theta'ya eşitlendiği için asimptotik yansızdır.
Tahmin edici olan maksimum sıra istatistiğinin beklenen değeri, kitle dağılımının özellikleri kullanılarak integralle hesaplandığında E(θ^)=2n2n+1θE(\hat{\theta}) = \frac{2n}{2n+1}\theta olarak bulunur. Bu ifade θ\theta'ya eşit olmadığından istatistik yanlı bir tahmin edicidir. Asimptotik yansızlığı incelemek için örneklem çapı sonsuza giderken limit alınmalıdır. lim⁡n→∞2n2n+1θ=1⋅θ=θ\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1}\theta = 1 \cdot \theta = \theta olduğundan, tahmin edicinin beklenen değeri asimptotik olarak parametrenin gerçek değerine yakınsar ve bu nedenle asimptotik yansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonunun (CDF) bulunması
F(x)=∫0x2tθ2dt=x2θ2F(x) = \int_0^x \frac{2t}{\theta^2} dt = \frac{x^2}{\theta^2}
Maksimum sıra istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonunu türetebilmek için öncelikle kitle dağılımının birikimli fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
Maksimum sıra istatistiği olan θ^=X(n)\hat{\theta} = X_{(n)}'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) elde edilmesi
f(n)(x)=n[F(x)]n−1f(x)=n(x2θ2)n−1(2xθ2)=2nx2n−1θ2nf_{(n)}(x) = n[F(x)]^{n-1}f(x) = n\left(\frac{x^2}{\theta^2}\right)^{n-1}\left(\frac{2x}{\theta^2}\right) = \frac{2nx^{2n-1}}{\theta^{2n}}
Sıra istatistiklerinin teorik dönüşüm formülü kullanılarak, en büyük değerin dağılımı modellenir.
3
Tahmin edicinin beklenen değerinin hesaplanması
E(θ^)=∫0θx(2nx2n−1θ2n)dx=2nθ2n∫0θx2ndx=2nθ2n[x2n+12n+1]0θ=2n2n+1θE(\hat{\theta}) = \int_0^\theta x \left(\frac{2nx^{2n-1}}{\theta^{2n}}\right) dx = \frac{2n}{\theta^{2n}} \int_0^\theta x^{2n} dx = \frac{2n}{\theta^{2n}} \left[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^\theta = \frac{2n}{2n+1}\theta
Sürekli rassal değişkenlerde beklenen değer formülü (E(X)=∫xf(x)dxE(X) = \int x f(x) dx) uygulanarak istatistiğin ortalama davranışı bulunur.
4
Yanlılık ve asimptotik yansızlık özelliklerinin değerlendirilmesi
E(θ^)≠θE(\hat{\theta}) \neq \theta olduğu için yanlıdır. lim⁡n→∞2n2n+1θ=θ\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1}\theta = \theta olduğu için asimptotik yansızdır.
Beklenen değerin kitle parametresine sonlu örneklemde ve sonsuza giden limitte eşit olup olmadığı kontrol edilerek tahmin edicinin özellikleri netleştirilir.

Anahtar Kavram

Maksimum sıra istatistiğinin beklenen değeri ve asimptotik limit özelliklerinin incelenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Asimptotik Yansızlık

Bu konudan daha fazla soru