Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bir gazdaki moleküllerin hızlarını modellemek için kullanılan Maxwell-Boltzmann dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)=2πx2θ3exp⁡(−x22θ2),x>0,θ>0f(x; \theta) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2}{\theta^3} \exp\left(-\frac{x^2}{2\theta^2}\right), \quad x > 0, \theta > 0

Burada θ\theta, sıcaklık ile ilişkili bilinmeyen bir parametredir. X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n bu dağılımdan alınan nn birimlik rastgele bir örneklem olsun.

Bu dağılımın üstel aile formunda yazılması, tamlık (completeness) özelliği ve Lehmann-Scheffe teoremi bağlamında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Doğal (kanonik) parametre η=−12θ2\eta = -\frac{1}{2\theta^2}'dir. Doğal parametre uzayı (−∞,0)(-\infty, 0) açık aralığını içerdiği için T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 tam ve yeterli istatistiktir; bu nedenle TT'ye bağlı yansız bir tahmin edici varsa benzersizdir (UMVUE).Cevap
  2. B
    Doğal parametre η=−12θ2\eta = -\frac{1}{2\theta^2}'dir. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun yapısı gereği Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i tam ve yeterli istatistiktir ve bu istatistiğe bağlı yansız tahmin ediciler UMVUE özelliği gösterir.
  3. C
    Doğal parametre η=1θ3\eta = \frac{1}{\theta^3}'tür. T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 tam ve yeterli istatistiktir; elde edilecek UMVUE'nin her zaman tutarlı (consistent) olması da teorik bir zorunluluktur.
  4. D
    Doğal parametre η=−12θ2\eta = -\frac{1}{2\theta^2}'dir. T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 yeterli istatistiktir ve Lehmann-Scheffe teoremine göre UMVUE bulmak için istatistiğin yeterli olması kâfidir, ayrıca tamlık koşulunun kanıtlanmasına gerek yoktur.
  5. E
    Doğal parametre η=−12θ2\eta = -\frac{1}{2\theta^2}'dir. T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 tam ve yeterli istatistik olsa dahi, bu istatistikten elde edilen asimptotik yanlı bir tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken yalnızca varyans değeri dikkate alınır.

Cevap

Maxwell-Boltzmann dağılımının doğal parametresi η=−1/(2θ2)\eta = -1/(2\theta^2)'dir ve parametre uzayı (−∞,0)(-\infty, 0) açık aralığını içerdiğinden T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 istatistiği tam ve yeterlidir. Bu sayede Lehmann-Scheffe teoremine göre bu istatistiğe dayalı yansız tahmin edici eşsizdir.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu üstel aile formunda düzenlendiğinde, doğal (kanonik) parametrenin η=−1/(2θ2)\eta = -1/(2\theta^2) ve yeterli istatistiğin T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 olduğu görülür. θ>0\theta > 0 kısıtı altında η\eta parametresi (−∞,0)(-\infty, 0) açık aralığında değer alır. Parametre uzayı açık bir aralık içerdiği için, üstel ailelerin tamlık teoremine göre bu yeterli istatistik tamdır (complete). Tam ve yeterli bir istatistiğe dayalı yansız bir tahmin edici varsa, Lehmann-Scheffe teoremi gereğince bu tahmin edici benzersizdir ve Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) adını alır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile (exponential family) formatında yazma.
f(x;θ)=2πx2exp⁡(−x22θ2−3ln⁡θ)f(x; \theta) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} x^2 \exp\left(-\frac{x^2}{2\theta^2} - 3\ln \theta\right) şeklinde ifade edilir.
Dağılımın doğal (kanonik) parametresini ve yeterli istatistiğini belirleyebilmek için standart üstel forma dönüştürülmesi gerekir.
2
Doğal parametre ve yeterli istatistiği belirleme.
Örneklem için ortak dağılım üzerinden yeterli istatistik T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 ve doğal parametre η=−12θ2\eta = -\frac{1}{2\theta^2} olarak bulunur.
Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre, üstel fonksiyonun içindeki rastgele değişkene bağlı terimlerin toplamı yeterli istatistiği, onun katsayısı ise doğal parametreyi verir.
3
Tamlık (completeness) koşulunu kontrol etme.
θ>0\theta > 0 olduğu için η=−1/(2θ2)\eta = -1/(2\theta^2) parametresi (−∞,0)(-\infty, 0) aralığında değer alır. Bu parametre uzayı gerçel sayılar kümesinde açık bir aralık içerir.
Üstel ailelerde doğal parametre uzayı k boyutlu bir açık dikdörtgen (veya aralık) içeriyorsa, ilgili yeterli istatistik tamdır (complete).
4
Lehmann-Scheffe teoremi ile ilişkilendirme.
T=∑i=1nXi2T = \sum_{i=1}^n X_i^2 tam ve yeterli bir istatistik olduğundan, TT'nin bir fonksiyonu yansız bir tahmin edici ise bu tahmin edici benzersizdir (UMVUE).
Lehmann-Scheffe teoremi, tam ve yeterli bir istatistiğe bağlı yansız tahmin edicilerin düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edici (UMVUE) olacağını garanti eder.

Anahtar Kavram

Üstel Ailelerde Tamlık ve Lehmann-Scheffe Teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bu konudan daha fazla soru