Bir araştırma laboratuvarında, bir malzemenin dayanıklılığını ölçen bir cihazın ölçüm hata… — KPSS İstatistik

Bir araştırma laboratuvarında, bir malzemenin dayanıklılığını ölçen bir cihazın ölçüm hatalarının standart sapması $1$ olan normal dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Bu cihaz ile yapılan bağımsız $n=4$ ölçüm $X_1, X_2, X_3, X_4 \sim N(\mu, 1)$ rastgele örneklemini oluşturmaktadır. Bilinmeyen $\mu$ parametresinin karesi olan $\theta = \mu^2$ değerini tahmin etmek için $T = X_1 X_2$ yansız tahmin edicisi önerilmiştir.

Bu tahmin edici, $\mu$ için yeterli (sufficient) ve tam (complete) bir istatistik olan $S = \sum_{i=1}^4 X_i$ kullanılarak Rao-Blackwell teoremi gereğince $T^* = E[T \mid S]$ şeklinde geliştirilmiştir.

Buna göre, ilk önerilen tahmin edicinin varyansı ile Rao-Blackwell teoremi ile elde edilen yeni tahmin edicinin varyansı arasındaki fark ( $Var(T) - Var(T^*)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{7}{8} + \mu^2$ Cevap
B
$1 + 2\mu^2$
C
$\frac{1}{8} + \mu^2$
D
$\frac{7}{8}$
E
$\frac{15}{16} + 2\mu^2$

Cevap

İlk tahmin edicinin varyansı ile geliştirilmiş tahmin edicinin varyansı arasındaki fark

\frac{7}{8} + \mu^2

ifadesidir.

Rao-Blackwell teoremi ile elde edilen

T^*

tahmin edicisi,

S

istatistiğinin tamlığından dolayı

\mu^2

için UMVUE'dir. Bağımsız normal dağılım örneklerinden yola çıkarak

Var(X_1 X_2) = 1 + 2\mu^2

olarak bulunur. UMVUE olan

T^* = \bar{X}^2 - 1/n

tahmin edicisinin varyansı

n=4

için

Var(\bar{X}^2) = 1/8 + \mu^2

'dir. İyileştirme miktarı (fark) ise bu iki değerin birbirinden çıkarılmasıyla

\frac{7}{8} + \mu^2

olarak doğru şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

T = X_1 X_2

yansız tahmin edicisinin varyansını (

Var(T)

) hesaplama.

Var(T) = 1 + 2\mu^2

X_1

X_2

bağımsız olduğundan

E[T] = \mu^2

'dir.

Var(T) = E[X_1^2 X_2^2] - (E[X_1 X_2])^2 = E[X_1^2]E[X_2^2] - \mu^4

. Normal dağılım için

E[X_i^2] = Var(X_i) + E[X_i]^2 = 1 + \mu^2

'dir. Buradan

(1+\mu^2)^2 - \mu^4 = 1 + 2\mu^2 + \mu^4 - \mu^4 = 1 + 2\mu^2

bulunur.

Lehmann-Scheffe teoremini kullanarak

T^*

tahmin edicisinin yapısını belirleme.

T^*

\mu^2

için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicidir (UMVUE).

Rao-Blackwell teoremi gereği

T^* = E[T \mid S]

yansızdır.

S

istatistiği tam (complete) ve yeterli (sufficient) olduğundan, Lehmann-Scheffe teoremine göre bu koşullu beklenen değer fonksiyonu eşsiz UMVUE'yi verir.

\mu^2

için UMVUE olan

T^*

'ı açık olarak elde etme.

T^* = \bar{X}^2 - \frac{1}{4}

n=4

için

\bar{X} \sim N(\mu, 1/4)

'tür.

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + E[\bar{X}]^2 = \frac{1}{4} + \mu^2

'dir. Bu nedenle

\bar{X}^2 - 1/4

ifadesi

\mu^2

için yansızdır. Tam istatistiğin bir fonksiyonu olduğu için benzersiz UMVUE, yani

T^*

'dır.

T^*

'ın varyansını (

Var(T^*)

) hesaplama.

Var(T^*) = \frac{1}{8} + \mu^2

Normal dağılımlı bir

Y \sim N(\mu, \sigma^2)

değişkeni için

Var(Y^2) = 2\sigma^4 + 4\mu^2\sigma^2

'dir.

Y = \bar{X}

\sigma^2 = 1/4

koyarsak:

Var(\bar{X}^2) = 2(\frac{1}{4})^2 + 4\mu^2(\frac{1}{4}) = \frac{2}{16} + \mu^2 = \frac{1}{8} + \mu^2

olur.

İki varyans arasındaki farkı bulma.

Var(T) - Var(T^*) = \frac{7}{8} + \mu^2

Hesaplanan değerler birbirinden çıkarıldığında:

(1 + 2\mu^2) - (\frac{1}{8} + \mu^2) = \frac{7}{8} + \mu^2

sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Rao-Blackwell Teoremi ve Lehmann-Scheffe Teoremi (UMVUE Kavramı)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru