Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Kullanımı

Temel Bileşenler Analizi (TBA) boyut indirgeme sürecinde, analizin başlangıcında veri matrisinin yapısına bağlı olarak örneklem kovaryans (S\mathbf{S}) veya örneklem korelasyon (R\mathbf{R}) matrisinin seçilmesi, elde edilecek bileşenlerin geometrik ve istatistiksel özelliklerini doğrudan etkiler.

Buna göre, TBA'da kovaryans ve korelasyon matrislerinin kuramsal özellikleri ve kullanımı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Farklı ölçü birimlerine sahip değişkenlerin bulunduğu veri setlerinde, sayısal olarak yüksek varyansa sahip değişkenlerin taşıdığı asıl bilgiyi korumak amacıyla, korelasyon matrisi yerine her zaman kovaryans matrisi tercih edilmelidir.
  2. B
    Temel bileşenlerin elde edilmesinde kullanılan matrisin türünden (kovaryans veya korelasyon) bağımsız olarak, matrise ait tüm özdeğerlerin çarpımı veri setindeki toplam varyansı verir ve boyut indirgeme süreci bu toplama göre yapılır.
  3. Veri matrisindeki tüm değişken değerleri aynı cc (c>0c>0) skaleri ile çarpıldığında, kovaryans matrisinin özdeğerleri c2c^2 katına çıkarken, korelasyon matrisinden elde edilen özdeğerler ve özvektörler bu dönüşümden etkilenmeden aynı kalır.Cevap
  4. D
    Korelasyon matrisi üzerinden TBA uygulandığında, herhangi bir kk. temel bileşenin veride açıkladığı varyans oranı, her zaman R\mathbf{R} matrisinin kk. özdeğerinin doğrudan kendisine (ek bir oranlama yapılmaksızın) eşittir.
  5. E
    Korelasyon matrisi kullanıldığında esas köşegendeki elemanlar 11 olduğundan değişkenlerin sadece ortak varyansları analize dahil edilir; bu nedenle elde edilen bileşenler hatadan arındırılmış gizil (latent) yapıları temsil eder.

Cevap

Veri matrisindeki tüm değişkenler aynı pozitif sabit ile çarpıldığında, kovaryans matrisinin özdeğerlerinin karesel olarak artması ancak korelasyon matrisinin analiz sonuçlarının (özdeğer ve özvektörlerin) değişmemesi ifadesi doğrudur.
Kovaryans matrisi ölçüm birimine duyarlıdır; tüm gözlemler bir cc sabiti ile çarpıldığında matris elemanları c2c^2 katına çıkar. Matris cebiri kuralları gereği, bir matris bir skalerle (c2c^2) çarpıldığında özdeğerleri de o skaler oranında artar, özvektörler (yönler) ise değişmez. Diğer taraftan, korelasyon matrisi verilerin ZZ-skorlarına dönüştürülmesi mantığına dayandığı için her türlü doğrusal ölçeklemeden bağımsızdır (invariant). cc ile çarpım korelasyon matrisini hiç değiştirmez, dolayısıyla korelasyon üzerinden yapılan analizin sonuçları (özdeğer ve özvektörler) tamamen aynı kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Kovaryans ve korelasyon matrislerinin ölçek (birim) değişimlerine karşı matematiksel tepkisini analiz et.
Xyeni=c⋅XeskiX_{yeni} = c \cdot X_{eski} dönüşümü uygulandığında, yeni kovaryans matrisi Syeni=c2Seski\mathbf{S}_{yeni} = c^2 \mathbf{S}_{eski} olur.
Varyans ve kovaryans hesaplamaları verinin ölçüm biriminin karesi ile orantılıdır.
2
Kovaryans matrisinin özdeğerlerindeki değişimi değerlendir.
Bir matris c2c^2 sabiti ile çarpıldığında, özdeğerleri de c2c^2 katına çıkar (λyeni=c2λeski\lambda_{yeni} = c^2 \lambda_{eski}).
Doğrusal cebirde özdeğer denklemi Sv=λv\mathbf{S}v = \lambda v şeklindedir; (c2S)v=(c2λ)v(c^2 \mathbf{S})v = (c^2 \lambda) v eşdeğerliği geçerlidir.
3
Aynı dönüşümün korelasyon matrisi (R\mathbf{R}) üzerindeki etkisini incele.
Korelasyon katsayısı hesaplanırken değişkenler standart sapmalarına bölündüğü için cc sabiti pay ve paydada sadeleşir.
Korelasyon, birimden bağımsız (scale-invariant) bir ölçüdür. Bu nedenle R\mathbf{R} matrisi değişmez, dolayısıyla R\mathbf{R}'nin özdeğerleri ve özvektörleri aynı kalır.

Anahtar Kavram

Ölçek Bağımsızlığı (Scale Invariance) ve Matris Özellikleri
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Kullanımı