Ekonometrik bir çalışmada, n gözlem ve (sabit terim dâhil) p parametre içeren standart çok… — KPSS İstatistik

Ekonometrik bir çalışmada, $n$ gözlem ve (sabit terim dâhil) $p$ parametre içeren standart çoklu doğrusal regresyon modeli matris notasyonu ile $Y = X\beta + \varepsilon$ şeklinde tanımlanmıştır. Modelde En Küçük Kareler (EKK) tahmincisi $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ ve artıklar vektörü $e = Y - \hat{Y}$ olarak verilmiştir. $X$ matrisinin tam sütun rankına sahip olduğu varsayılmaktadır.

Modelin açıklayıcı gücünü değerlendirmek isteyen bir araştırmacı, Hata (Artık) Kareler Toplamı skaler değerini ( $e'e$ ) matris işlemleriyle hesaplamak istemektedir.

Buna göre, aşağıdaki matris çarpımlarından hangisi modelin Hata Kareler Toplamı'nı ( $e'e$ ) ifade etmez?

A
$Y'Y - \hat{\beta}'X'Y$
B
$Y'[I - X(X'X)^{-1}X']Y$
C
$e'Y$
D
$Y'Y - \hat{\beta}'X'X\hat{\beta}$
$Y'X(X'X)^{-1}X'Y$ Cevap

Cevap

Hata Kareler Toplamı'nı (HKT) vermeyen, aksine modelin açıkladığı varyans olan Regresyon Kareler Toplamı'nı (RKT) veren ifade Y'X(X'X)⁻¹X'Y matris çarpımıdır.

Doğru yanıt olan seçenek, Hata Kareler Toplamı'nı (HKT) değil, Regresyon Kareler Toplamı'nı (RKT) temsil eder.

Y'X(X'X)^{-1}X'Y

ifadesi, bağımlı değişken vektörünün (Y) tahmin uzayına izdüşüm matrisi (

H = X(X'X)^{-1}X'

) ile çarpılmasıdır ve

\hat{Y}'\hat{Y}

yani model tarafından açıklanan varyansı verir. HKT ise

Y'Y - \hat{Y}'\hat{Y}

işlemi ile bulunur.

Adım Adım Çözüm

Hata Kareler Toplamı'nın (HKT) temel matris tanımını yazın.

e'e = (Y - \hat{Y})'(Y - \hat{Y}) = (Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})

Artıklar vektörü e'nin kendisiyle iç çarpımı HKT'yi verir.

Çarpım işlemini dağıtarak açın ve EKK normal denklemlerini uygulayın.

e'e = Y'Y - \hat{\beta}'X'Y - Y'X\hat{\beta} + \hat{\beta}'X'X\hat{\beta}

. Skaler ifadelerde transpoz kendisine eşit olduğundan

-2\hat{\beta}'X'Y

olur. EKK'da

X'X\hat{\beta} = X'Y

olduğundan denklem

e'e = Y'Y - \hat{\beta}'X'Y

şeklinde sadeleşir.

Bu sadeleştirme, HKT'nin Genel Kareler Toplamı (GKT) eksi Regresyon Kareler Toplamı (RKT) olduğu gerçeğinin matrisyel ispatıdır.

Seçeneklerdeki ifadelerin HKT'ye eşit olup olmadığını kontrol edin.

Doğru seçenek olan ifadede

Y'X(X'X)^{-1}X'Y = Y'H Y = \hat{Y}'\hat{Y}

elde edilir. Bu işlem RKT'yi (Açıklanan Kareler Toplamı) verir.

Y'nin izdüşüm matrisi (H) ile karesel formu, tahmin edilen değerlerin kareleri toplamını hesaplar.

Anahtar Kavram

Regresyon Modellerinde Kareler Toplamlarının Matris Formülasyonu

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru