Examkin

Soru

Zorluk: OrtaModelin Matris Gösterimi

nn adet gözlem ve (sabit terim hariç) kk adet bağımsız değişken içeren bir çoklu doğrusal regresyon modelinin matris gösterimi Y=Xβ+uY = X\beta + u şeklindedir.

En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle elde edilen tahmin değerleri vektörü Y^\hat{Y}, bağımlı değişken vektörü YY'nin bir doğrusal dönüşümü olarak Y^=HY\hat{Y} = HY eşitliği ile yazılabilir. Burada H=X(X′X)−1X′H = X(X'X)^{-1}X' ifadesi "Şapka (Hat) Matrisi" olarak adlandırılır.

Buna göre, HH matrisinin boyutu ve ana köşegen üzerindeki elemanlarının toplamını ifade eden izi (Tr(H)Tr(H)) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. n×nn \times n ve k+1k + 1Cevap
  2. B
    n×nn \times n ve n−k−1n - k - 1
  3. C
    (k+1)×(k+1)(k+1) \times (k+1) ve k+1k + 1
  4. D
    (k+1)×(k+1)(k+1) \times (k+1) ve n−k−1n - k - 1
  5. E
    n×(k+1)n \times (k+1) ve nn

Cevap

Şapka (Hat) matrisinin boyutu n×nn \times n ve izi k+1k + 1'dir.
Y=Xβ+uY = X\beta + u modelinde, model tarafından üretilen Y^\hat{Y} tahmin vektörü n×1n \times 1 boyutundadır. Y^=HY\hat{Y} = HY eşitliği kullanıldığında, n×1n \times 1 boyutunda bir sonuç vektörü elde etmek için Yn×1Y_{n \times 1} vektörünün n×nn \times n boyutunda bir kare matris ile çarpılması gerekir. Dolayısıyla, H=X(X′X)−1X′H = X(X'X)^{-1}X' matrisi n×nn \times n boyutundadır. İzi ise matris cebirindeki yer değiştirme özelliğiyle (Tr(ABC)=Tr(CAB)Tr(ABC) = Tr(CAB)) hesaplanır: Tr(H)=Tr[X(X′X)−1X′]=Tr[X′X(X′X)−1]Tr(H) = Tr[X(X'X)^{-1}X'] = Tr[X'X(X'X)^{-1}]. Bir matrisin tersi ile çarpımı birim matris üreteceğinden ifade Tr(I)Tr(I) olur. Burada (X′X)(X'X) matrisi (k+1)×(k+1)(k+1) \times (k+1) boyutunda olduğundan II birim matrisi de (k+1)×(k+1)(k+1) \times (k+1) boyutundadır. Bu birim matrisin izi (ana köşegenindeki 1'lerin toplamı) k+1k+1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
HH matrisinin içindeki her bir alt matrisin boyutunu listeleme.
XX matrisi n×(k+1)n \times (k+1), (X′X)−1(X'X)^{-1} matrisi (k+1)×(k+1)(k+1) \times (k+1) ve X′X' matrisi (k+1)×n(k+1) \times n boyutundadır.
Çarpım matrisinin boyutunu bulmak için matris çarpım kuralını (iç boyutların eşleşmesi, dış boyutların sonuç olması) uygulamak gerekir.
2
Uç matris boyutlarına bakarak HH matrisinin son boyutunu hesaplama.
H=Xn×(k+1)×((X′X)−1X′)(k+1)×n  ⟹  n×nH = X_{n \times (k+1)} \times ((X'X)^{-1}X')_{(k+1) \times n} \implies n \times n boyutunda bir kare matris elde edilir.
Y^=HY\hat{Y} = HY işleminde n×1n \times 1 vektörü elde edilmesi için HH'nin n×nn \times n boyutunda olması teorik olarak da zorunludur.
3
İz (trace) operatörünün Tr(AB)=Tr(BA)Tr(AB) = Tr(BA) özelliğini üçlü matris çarpımına uygulama.
Tr(X(X′X)−1X′)=Tr(X′X(X′X)−1)=Tr(Ik+1)Tr(X(X'X)^{-1}X') = Tr(X'X(X'X)^{-1}) = Tr(I_{k+1}) işlemine dönüşür.
İz işleminde çarpım sırası döngüsel olarak değiştirilebilir. Bu sayede karmaşık ters matris işlemi sadeleşerek birim matrisin izi problemine indirgenir.
4
Birim matrisin (Ik+1I_{k+1}) izini hesaplama.
(k+1)×(k+1)(k+1) \times (k+1) boyutundaki birim matrisin köşegeninde (k+1)(k+1) adet 1 bulunur. Toplamları k+1k+1 olur.
Kare matrisin izi, ana köşegen üzerindeki elemanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Şapka Matrisinin (Hat Matrix) Boyutu ve İz Özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

Modelin Matris Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru