Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAsimptotik Yansızlık

Bir trafik sigortası portföyünde günlük meydana gelen hasar adetleri, λ>0\lambda > 0 parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. Şirket, belirli bir günde hiç hasar yaşanmama olasılığını, yani θ=P(X=0)=e−λ\theta = P(X=0) = e^{-\lambda} değerini tahmin etmek istemektedir.

nn günlük bağımsız rastgele örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olmak üzere, θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi θ^=e−Xˉ\hat{\theta} = e^{-\bar{X}} olarak verilmiştir. (Burada Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasıdır.)

Buna göre, θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin beklenen değeri E(θ^)E(\hat{\theta}) ve asimptotik yansızlık durumu aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

  1. E(θ^)=e−nλ(1−e−1/n)E(\hat{\theta}) = e^{-n\lambda(1-e^{-1/n})} olup, θ^\hat{\theta} asimptotik yansızdır.Cevap
  2. B
    E(θ^)=e−λE(\hat{\theta}) = e^{-\lambda} olup, θ^\hat{\theta} yansızdır.
  3. C
    E(θ^)=e−λn(1−e−1)E(\hat{\theta}) = e^{-\frac{\lambda}{n}(1-e^{-1})} olup, θ^\hat{\theta} asimptotik yansız değildir.
  4. D
    E(θ^)=e−nλ(1−e−1/n)E(\hat{\theta}) = e^{-n\lambda(1-e^{-1/n})} olup, θ^\hat{\theta} asimptotik yansız değildir.
  5. E
    E(θ^)=e−λ(1−e−1/n)E(\hat{\theta}) = e^{-\lambda(1-e^{-1/n})} olup, θ^\hat{\theta} asimptotik yansız değildir.

Cevap

Doğru ifade E(θ^)=e−nλ(1−e−1/n)E(\hat{\theta}) = e^{-n\lambda(1-e^{-1/n})} şeklindedir ve limit değeri parametreye eşit olduğu için asimptotik yansızdır.
Beklenen değer hesabı bağımsız rassal değişkenlerin toplamının özelliklerinden faydalanılarak moment çıkaran fonksiyon üzerinden MY(−1/n)M_Y(-1/n) olarak hatasız biçimde çıkarılır. Asimptotik özellik ise üssün limiti alınırken L'Hopital kuralı (veya Taylor açılımı) kullanılarak −1-1 sonucuna ulaşılması ve en nihayetinde limitin θ=e−λ\theta = e^{-\lambda} çıkmasıyla kanıtlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin beklenen değerini toplam sembolü cinsinden yazmak.
E(θ^)=E(e−Xˉ)=E(e−1n∑Xi)E(\hat{\theta}) = E(e^{-\bar{X}}) = E(e^{-\frac{1}{n}\sum X_i}) biçiminde ifade edilir.
Bağımsız gözlemlerin dağılımsal özelliklerini (moment çıkaran fonksiyon) kullanabilmek için ifadeyi ∑Xi\sum X_i formatına getirmek gerekir.
2
Toplamın dağılımını belirleyerek moment çıkaran fonksiyondan (MGF) yararlanmak.
Y=∑i=1nXiY = \sum_{i=1}^{n} X_i dersek, bağımsızlık gereği Y∼Poisson(nλ)Y \sim \text{Poisson}(n\lambda) olur. Poisson dağılımı için MGF formülü MY(t)=E(etY)=enλ(et−1)M_Y(t) = E(e^{tY}) = e^{n\lambda(e^t - 1)} şeklindedir.
Üstel bir fonksiyonun beklenen değeri, değişkenin MGF formülünde uygun tt değerinin yerine konmasıyla doğrudan bulunur.
3
MGF formülünde t yerine uygun değeri koyarak E(θ^)E(\hat{\theta}) hesaplamak.
t=−1/nt = -1/n alınarak E(e−1nY)=MY(−1/n)=enλ(e−1/n−1)=e−nλ(1−e−1/n)E(e^{-\frac{1}{n}Y}) = M_Y(-1/n) = e^{n\lambda(e^{-1/n} - 1)} = e^{-n\lambda(1-e^{-1/n})} bulunur.
Böylece tahmin edicinin her nn örneklem çapı için kesin beklenen değeri elde edilmiş olur.
4
n→∞n \to \infty için beklenen değerin limitini almak.
Üssün limitini inceleyelim: lim⁡n→∞n(e−1/n−1)\lim_{n \to \infty} n(e^{-1/n} - 1). u=1/nu = 1/n dönüşümü yapıldığında n→∞n \to \infty iken u→0u \to 0 olur. Limit lim⁡u→0e−u−1u\lim_{u \to 0} \frac{e^{-u} - 1}{u} halini alır. L'Hopital kuralıyla türevler alındığında lim⁡u→0−e−u1=−1\lim_{u \to 0} \frac{-e^{-u}}{1} = -1 bulunur. Üs limit değeri −λ-\lambda olur.
Asimptotik yansızlığı kontrol etmek için beklenen değerin asimptotik limitinin (sonsuzdaki durumunun) hesaplanması zorunludur.
5
Bulunan limiti gerçek parametre ile karşılaştırarak karara varmak.
lim⁡n→∞E(θ^)=e−λ=θ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}) = e^{-\lambda} = \theta olarak elde edilir. Beklenen değerin limiti gerçek parametreye eşit olduğu için θ^\hat{\theta} asimptotik yansızdır.
Asimptotik yansızlık tanımı, limit değerinin araştırılan parametreye mutlak eşitliğini gerektirir.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık ve Moment Çıkaran Fonksiyon (MGF)

Alternatif Yöntem

Limit hesabında L'Hopital yerine Maclaurin/Taylor serisi açılımı kullanılabilir: e−1/n≈1−1n+12n2e^{-1/n} \approx 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n^2}. Buradan n(e−1/n−1)=n(−1/n)=−1n(e^{-1/n} - 1) = n(-1/n) = -1 asimptotik davranışına çok daha pratik şekilde ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Asimptotik Yansızlık

Bu konudan daha fazla soru