Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKüme İçi Korelasyon Katsayısı

Bir araştırmada hedef kitle, her biri MM adet gözlem biriminden oluşan eşit büyüklükteki doğal kümelere ayrılmıştır. Yapılan detaylı varyans analizinde, her bir kümenin kendi içindeki ortalamasının, kitlenin genel ortalamasına tam olarak eşit olduğu (kümeler arası varyansın sıfır olduğu) tespit edilmiştir.

Buna göre, bu kitle üzerinden yapılacak bir tek aşamalı küme örneklemesi tasarımı için küme içi korelasyon katsayısı (ρ\rho) ve bu tasarımın basit rastgele örneklemeye (BRÖ) göre etkinliği hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. ρ\rho katsayısı −1M−1-\frac{1}{M-1} değerini alır, tasarım etkisi (DeffDeff) sıfır olur ve küme örneklemesi basit rastgele örneklemeye göre maksimum etkinliğe ulaşır.Cevap
  2. B
    Kümeler arası fark bulunmadığı için ρ\rho katsayısı 00 değerini alır, tasarım etkisi 11 olacağından iki örnekleme yönteminin etkinliği birbirine eşittir.
  3. C
    Her küme kitleyi mükemmel temsil ettiği için ρ\rho katsayısı +1+1 değerini alır ve tasarım etkisi en yüksek seviyeye çıkacağından etkinlik minimum düzeye iner.
  4. D
    ρ\rho katsayısı pozitif çıkar ancak kitle ortalaması kümeler arasında değişmediği için küme örneklemesinden ziyade tabakalı örnekleme ilkelerine uyulmuştur ve etkinlik düşüktür.
  5. E
    Kümeler arası varyans hesaplanırken örnekleme birimi ile gözlem birimi aynı kabul edildiği için ρ\rho katsayısı anlamsızlaşır ve etkinlik karşılaştırması yapılamaz.

Cevap

ρ\rho katsayısı teorik alt sınırı olan −1M−1-\frac{1}{M-1} değerini alır ve tasarım etkisi sıfırlandığı için küme örneklemesi BRÖ'ye göre mümkün olan en yüksek etkinliğe sahiptir.
Kümelerin ortalamasının kitle ortalamasına tam olarak eşit olması, kümeler arası varyansın sıfır (MSB=0MSB=0) olduğu anlamına gelir. Varyans analizine dayalı formülde ρ=MSB−MSWMSB+(M−1)MSW\rho = \frac{MSB - MSW}{MSB + (M-1)MSW} eşitliğinde MSB=0MSB=0 yazıldığında ρ=−1M−1\rho = -\frac{1}{M-1} sonucuna ulaşılır. Tasarım etkisi formülünde (Deff=1+(M−1)ρDeff = 1 + (M-1)\rho) bu değer yerine konduğunda sonuç 00 çıkar. Varyansın sıfıra inmesi, küme örneklemesinin BRÖ'ye göre maksimum etkinliğe (hatasız tahmine) ulaştığını kesin olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Senaryodaki varyans ilişkisini tespit etme.
Tüm küme ortalamaları genel kitle ortalamasına eşit olduğuna göre, kümeler arası varyans (Sb2S_b^2 veya MSBMSB) 00'dır.
Kümeler arası varyans, küme ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının karesel ortalamasıdır.
2
Varyans analizine göre ρ\rho katsayısını hesaplama.
ρ=MSB−MSWMSB+(M−1)MSW\rho = \frac{MSB - MSW}{MSB + (M-1)MSW} formülünde MSB=0MSB = 0 yazılırsa, ρ=−MSW(M−1)MSW=−1M−1\rho = \frac{-MSW}{(M-1)MSW} = -\frac{1}{M-1} bulunur.
ρ\rho katsayısı sadece birimlerin benzerliğini değil, aynı zamanda toplam varyansın ne kadarının kümeler arasından geldiğini ölçer.
3
Tasarım etkisini (DeffDeff) hesaplama.
Deff=1+(M−1)ρDeff = 1 + (M-1)\rho formülünde ρ\rho yerine −1M−1-\frac{1}{M-1} konulduğunda, Deff=1+(M−1)(−1M−1)=1−1=0Deff = 1 + (M-1)\left(-\frac{1}{M-1}\right) = 1 - 1 = 0 elde edilir.
Tasarım etkisi, küme örneklemesinin varyansının basit rastgele örneklemenin varyansına oranını verir.
4
Etkinliği yorumlama.
Tasarım etkisinin 00 olması, küme örneklemesindeki varyansın 00 olduğu anlamına gelir. Yani tek bir küme seçmek bile kitle ortalamasını hatasız tahmin etmeye yeterlidir.
Varyansın sıfır olması, basit rastgele örneklemeye (varyansı 00'dan büyüktür) göre sonsuz/maksimum bir etkinlik demektir.

Anahtar Kavram

Küme İçi Korelasyon Katsayısının Teorik Alt Sınırı ve Etkinlik
Bu soruyu puanla

Konular

Küme İçi Korelasyon Katsayısı

Bu konudan daha fazla soru