Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMomentler Yöntemi (Method of Moments)

Bir kamu kurumu, belirli bir teşvik programından yararlanan işletmelerin yıllık vergi matrahlarını (milyon TL cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellemektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>1\theta > 1 bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıda verilmiştir:

f(x;θ)={θxθ+1,x≥10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, & x \geq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu kuruma başvuran işletmelerden rastgele seçilen nn tanesinin vergi matrahları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n şeklinde gözlemlenmiştir.

Buna göre, θ\theta parametresinin momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir? (Burada Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i örneklem ortalamasını göstermektedir.)

  1. A
    n∑i=1nln⁡(Xi)\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}
  2. B
    1Xˉ−1\frac{1}{\bar{X}-1}
  3. XˉXˉ−1\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}Cevap
  4. D
    Xˉ−1Xˉ\frac{\bar{X}-1}{\bar{X}}
  5. E
    XˉXˉ+1\frac{\bar{X}}{\bar{X}+1}

Cevap

XˉXˉ−1\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}
Momentler yönteminde ilk adım kitlenin beklenen değerini bulmaktır. Verilen Pareto benzeri dağılım için E[X]=θθ−1E[X] = \frac{\theta}{\theta-1} olarak hesaplanır. Daha sonra bu teorik moment, birinci örneklem momentine (Xˉ\bar{X}) eşitlenir. Kurulan θθ−1=Xˉ\frac{\theta}{\theta-1} = \bar{X} denklemi θ\theta için çözüldüğünde θ^=XˉXˉ−1\hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{\bar{X}-1} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımın birinci teorik momentini (beklenen değerini) hesaplayın.
E[X]=∫1∞xθxθ+1dx=θ∫1∞x−θdx=θ(x−θ+1−θ+1)∣1∞=0−(θ1−θ)=θθ−1E[X] = \int_{1}^{\infty} x \frac{\theta}{x^{\theta+1}} dx = \theta \int_{1}^{\infty} x^{-\theta} dx = \left. \theta \left( \frac{x^{-\theta+1}}{-\theta+1} \right) \right|_{1}^{\infty} = 0 - \left( \frac{\theta}{1-\theta} \right) = \frac{\theta}{\theta-1}
Momentler yöntemi, teorik kitle momentlerini örneklem momentlerine eşitlemeye dayanır. Bu yüzden ilk adım birinci kitle momentini bulmaktır.
2
Bulunan birinci teorik momenti, birinci örneklem momenti olan örneklem ortalamasına (Xˉ\bar{X}) eşitleyin.
θθ−1=Xˉ\frac{\theta}{\theta-1} = \bar{X}
Momentler yönteminin temel denklemi E[X]=XˉE[X] = \bar{X} eşitliğini kurmaktır.
3
Elde edilen denklemde bilinmeyen θ\theta parametresini yalnız bırakarak tahmin ediciyi bulun.
θ=Xˉ(θ−1)  ⟹  θ=Xˉθ−Xˉ  ⟹  Xˉ=Xˉθ−θ  ⟹  Xˉ=θ(Xˉ−1)  ⟹  θ^=XˉXˉ−1\theta = \bar{X}(\theta-1) \implies \theta = \bar{X}\theta - \bar{X} \implies \bar{X} = \bar{X}\theta - \theta \implies \bar{X} = \theta(\bar{X}-1) \implies \hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}
Parametreyi yalnız bıraktığımızda momentler yöntemi (MoM) tahmin edicisini elde ederiz.

Anahtar Kavram

Momentler yöntemi, kitlenin bilinmeyen parametrelerini tahmin etmek için kitlenin teorik momentleri ile örneklemin hesaplanan momentlerini birbirine eşitleyen bir parametre tahmin yöntemidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Momentler Yöntemi (Method of Moments)

Bu konudan daha fazla soru