Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorModelin Matris Gösterimi

Ekonometrik analizlerde vektör uzayı yaklaşımı kullanılarak, nn gözlemden oluşan bağımlı değişken vektörü YY, XX matrisinin oluşturduğu sütun uzayına ve bu uzaya dik olan (ortogonal) alt uzaya izdüşürülmektedir. Y=Xβ+uY = X\beta + u standart çoklu doğrusal regresyon modelinde (sabit terim dâhil pp parametre içermektedir), P=X(X′X)−1X′P = X(X'X)^{-1}X' matrisi YY'nin sütun uzayına izdüşümünü, M=I−PM = I - P ise dik uzaya izdüşümünü veren simetrik ve idempotent matrislerdir.

EKK tahmin süreci sonunda elde edilen kestirim vektörü Y^\hat{Y} ve artık vektörü ee dikkate alındığında, bu modelin matris özellikleri ve varyans-kovaryans yapıları hakkında aşağıda verilen analitik sonuçlardan hangisi doğrudur?

  1. Kestirim değerleri vektörünün varyans-kovaryans matrisi Var(Y^)=σ2PVar(\hat{Y}) = \sigma^2 P yapısındadır ve bu izdüşüm matrisi PP'nin izi (trace), modeldeki katsayı parametre sayısına (pp) eşittir.Cevap
  2. B
    Artık vektörünün varyans-kovaryans matrisi Var(e)=σ2(X′X)−1Var(e) = \sigma^2(X'X)^{-1} olarak tanımlanır ve bu kare matrisin boyutu gözlem sayısına (n×nn \times n) eşittir.
  3. C
    Kalan (Artık) matrisi MM'nin izi (trace) tr(M)=n−1tr(M) = n-1 olduğundan, modeldeki hata varyansının sapmasız tahmincisi her zaman s2=e′en−1s^2 = \frac{e'e}{n-1} eşitliğiyle hesaplanır.
  4. D
    Parametre tahmin vektörü β^\hat{\beta}, katsayılar matrisi formülüne göre β^=(X′Y)−1(X′X)\hat{\beta} = (X'Y)^{-1}(X'X) matris işlemiyle elde edilir ve bu vektörün nihai boyutu n×1n \times 1'dir.
  5. E
    Tasarım matrisi XX'in sütunları arasında çoklu doğrusal bağlantı olduğunda (X′X)(X'X) matrisi singüler hale yaklaşır ve bu durum EKK tahmincisi β^\hat{\beta}'nın sapmalı (biased) sonuçlar üretmesine neden olur.

Cevap

Kestirim değerlerinin varyans-kovaryans matrisinin σ2P\sigma^2 P olduğunu ve izdüşüm matrisinin izinin parametre sayısı pp'ye eşit olduğunu belirten seçenek doğrudur.
Kestirim değerleri vektörünün (Y^\hat{Y}) matrisel karşılığı PYPY'dir. Varyans operatörünün özelliklerinden Var(PY)=P⋅Var(Y)⋅P′Var(PY) = P \cdot Var(Y) \cdot P' elde edilir. Var(Y)=σ2InVar(Y) = \sigma^2 I_n ve PP matrisi simetrik ile idempotent (P=P′P=P' ve P2=PP^2=P) olduğundan bu işlem σ2P\sigma^2 P sonucunu verir. Ayrıca matris izi döngüsellik kuralına göre, tr(X(X′X)−1X′)=tr((X′X)−1X′X)=tr(Ip)=ptr(X(X'X)^{-1}X') = tr((X'X)^{-1}X'X) = tr(I_p) = p bulunur. İzdüşüm matrisinin izi modeldeki parametre sayısına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Kestirim değerleri vektörünün (Y^\hat{Y}) varyans-kovaryans matrisinin türetilmesi.
Y^=PY\hat{Y} = PY olduğundan, Var(Y^)=Var(PY)=P⋅Var(Y)⋅P′Var(\hat{Y}) = Var(PY) = P \cdot Var(Y) \cdot P' elde edilir. Var(Y)=σ2IVar(Y) = \sigma^2 I ve PP idempotent (P=P′P=P' ve P2=PP^2=P) olduğundan sonuç σ2P\sigma^2 P çıkar.
Kestirim değerlerinin varyans yapısını oluşturan matrisin izdüşüm matrisi PP ile ilişkisini kanıtlamak.
2
İzdüşüm matrisi PP'nin izinin (trace) matris cebiriyle hesaplanması.
tr(P)=tr(X(X′X)−1X′)=tr((X′X)−1X′X)=tr(Ip)=ptr(P) = tr(X(X'X)^{-1}X') = tr((X'X)^{-1}X'X) = tr(I_p) = p bulunur.
İzdüşüm yapılan alt uzayın boyutunun modeldeki parametre sayısına (pp) eşit olduğunu göstermek.
3
Artıkların varyans matrisi, boyutları ve hatalı seçeneklerin çürütülmesi.
Var(e)=σ2MVar(e) = \sigma^2 M olup matris boyutu n×nn \times n'dir. Buna karşın (X′X)−1(X'X)^{-1} matrisi p×pp \times p boyutludur. Artıkların serbestlik derecesi de matrisin izi olan n−pn-p'ye eşittir.
Çeldiricilerde verilen hatalı matris boyutları, yanlış tahminci formülleri ve yanlış serbestlik derecelerini matematiksel olarak elemek.

Anahtar Kavram

İzdüşüm (Hat) ve Kalan Matrislerinin Özellikleri ile Boyutları
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Modelin Matris Gösterimi

Bu konudan daha fazla soru