Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir nükleer fizikçi, belirli bir radyoaktif izotopun bozunma enerjisi seviyelerini (MeV cinsinden) ölçmektedir. Yapılan ölçümleri temsil eden X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örnekleminin, beklenen değeri θ (θ>0)\theta \ (\theta > 0) ve varyansı θ2\theta^2 olan bir normal dağılımdan geldiği varsayılmaktadır.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, bilinmeyen θ\theta parametresi için yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  2. B
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2
  3. C
    ∑i=1n(Xi−Xˉ)2\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
  4. (∑i=1nXi,∑i=1nXi2)\left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right)Cevap
  5. E
    (min⁡1≤i≤nXi,max⁡1≤i≤nXi)\left( \min_{1 \le i \le n} X_i, \max_{1 \le i \le n} X_i \right)

Cevap

Doğru cevap, beklenen değer ve varyansın her ikisinin de aynı parametreye bağlı olmasından kaynaklı her iki istatistiksel toplam ifadesini de içeren (∑i=1nXi,∑i=1nXi2)\left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right) vektörüdür.
Olabilirlik fonksiyonu yazıldığında L(θ∣x)=(2π)−n/2θ−nexp⁡(−n2)exp⁡(−12θ2∑i=1nxi2+1θ∑i=1nxi)L(\theta|\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \exp(-\frac{n}{2}) \exp\left(-\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2 + \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i\right) elde edilir. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca bu fonksiyon g(T(x)∣θ)h(x)g(T(\mathbf{x})|\theta) h(\mathbf{x}) olarak ayrıştırıldığında, θ\theta'ya bağlı gg fonksiyonunun veriye sadece ∑i=1nxi\sum_{i=1}^n x_i ve ∑i=1nxi2\sum_{i=1}^n x_i^2 istatistikleri aracılığıyla bağlı olduğu görülür. Varyans ve beklenen değer aynı bilinmeyen parametreye bağlı olduğu için formüldeki her iki istatistik de zorunlu olarak yeterli istatistiğin birer parçasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood) kurmak
L(θ∣x)=∏i=1n12πθexp⁡(−(xi−θ)22θ2)L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\theta} \exp\left( -\frac{(x_i - \theta)^2}{2\theta^2} \right)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulayabilmek için öncelikle örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun çarpım olarak yazılması gerekir.
2
Çarpım sembolünü ifadeye dahil edip üstel içindeki kareyi açmak
L(θ∣x)=(2π)−n/2θ−nexp⁡(−12θ2∑i=1n(xi2−2θxi+θ2))L(\theta|\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \exp\left( -\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2\theta x_i + \theta^2) \right)
Üstel kısımdaki toplamın içindeki tam kare açılımı yapılarak veriye bağlı istatistiklerin izole edilmesi sağlanır.
3
Toplam sembolünü terimlere dağıtarak ifadeyi yeniden düzenlemek
L(θ∣x)=(2π)−n/2θ−nexp⁡(−n2)exp⁡(−12θ2∑i=1nxi2+1θ∑i=1nxi)L(\theta|\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} \theta^{-n} \exp\left(-\frac{n}{2}\right) \exp\left( -\frac{1}{2\theta^2} \sum_{i=1}^n x_i^2 + \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n x_i \right)
Parametreye (θ\theta) bağlı olan terimler ile yalnızca veriye bağlı olan terimleri ayırabilmek ve çarpan formuna getirmek için matematiksel düzenleme yapılır.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi bileşenlerini belirlemek
Fonksiyon g(T(x)∣θ)⋅h(x)g(T(\mathbf{x})|\theta) \cdot h(\mathbf{x}) olarak ayrıldığında, parametreyi içeren gg fonksiyonunda θ\theta'ya eşlik eden veriye bağlı bileşenler T(X)=(∑i=1nXi,∑i=1nXi2)T(\mathbf{X}) = \left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right) olarak tanımlanır. h(x)=(2π)−n/2h(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-n/2} olur.
Teoreme göre, olabilirlik fonksiyonu gg (parametre ve istatistiği içeren kısım) ile hh (sadece veriyi içeren kısım) olarak ayrıldığında, gg fonksiyonunun içindeki T(X)T(\mathbf{X}) yeterli istatistik olmalıdır.

Anahtar Kavram

Yeterlilik (Sufficiency) ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru