Bir tekstil fabrikasında üretilen kumaşlardaki hata durumu, hata olasılığı p olan bir Bern… — KPSS İstatistik

Bir tekstil fabrikasında üretilen kumaşlardaki hata durumu, hata olasılığı $p$ olan bir Bernoulli dağılımına uymaktadır. Bu fabrikadan rastgele seçilen $3$ top kumaşın hata durumu $X_1, X_2, X_3$ değişkenleri ile takip edilmektedir. $p$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}

T_2 = \frac{2X_1 + X_2 + X_3}{4}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin $T_2$ tahmin edicisine göre göreli etkinliği (relative efficiency) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{8}{9}$
$\frac{9}{8}$ Cevap
C
$\frac{3}{4}$
D
$\frac{4}{3}$
E
$1$

Cevap

T_1

tahmin edicisinin

T_2

'ye göre göreli etkinliği

\frac{9}{8}

'dir.

Yapılan hesaplamalar sonucunda örneklem ortalaması olan

T_1

'in varyansı

p(1-p)/3

, ağırlıklı ortalama olan

T_2

'nin varyansı ise

3p(1-p)/8

olarak bulunmuştur. Göreli etkinlik tanımı gereği

Var(T_2) / Var(T_1)

oranı alındığında

9/8

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

T_1

T_2

tahmin edicilerinin yansızlık durumlarını ve varyanslarını belirleyiniz.

E(X_i) = p

Var(X_i) = p(1-p)

olmak üzere;

E(T_1) = p

E(T_2) = p

olduğu görülür.

Var(T_1) = \frac{p(1-p)}{3}

Var(T_2) = \frac{4Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3)}{16} = \frac{6p(1-p)}{16} = \frac{3p(1-p)}{8}

olarak bulunur.

Göreli etkinlik hesaplaması için her iki tahmin edicinin de yansız olması gerekir ve varyans değerlerine ihtiyaç duyulur.

Göreli etkinlik formülünü uygulayınız.

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{\frac{3p(1-p)}{8}}{\frac{p(1-p)}{3}}

T_1

'in

T_2

'ye göre etkinliği,

T_2

'nin varyansının

T_1

'in varyansına bölünmesiyle elde edilir.

Rasyonel ifadeleri sadeleştirerek sonucu bulunuz.

\frac{3}{8} \times \frac{3}{1} = \frac{9}{8}

İfadedeki

p(1-p)

terimleri birbirini götürür ve katsayılar çarpılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

İki yansız tahmin edici arasındaki göreli etkinlik, varyanslarının ters oranı ile hesaplanır; varyansı küçük olan tahmin edici daha etkindir.

Daha Fazla Pratik

Cramer-Rao Alt Sınırını hesaplayarak

T_1

tahmin edicisinin mutlak etkinliğini bulmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Konular

Bu konudan daha fazla soru