Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKanonik Değişkenler ve Kanonik Korelasyon Katsayısı

Bir veri bilimci, sırasıyla p=3p=3 ve q=4q=4 değişkenden oluşan XX ve YY rastgele vektörleri arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla Kanonik Korelasyon Analizi (KKA) uygulamaktadır.

Analiz sonucunda, ΣXX−1ΣXYΣYY−1ΣYX\Sigma_{XX}^{-1} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY}^{-1} \Sigma_{YX} matrisinin en büyük özdeğeri λ1=0,64\lambda_1 = 0,64 olarak bulunmuştur. Birinci kanonik değişken çifti U1=a1TXU_1 = a_1^T X ve V1=b1TYV_1 = b_1^T Y şeklinde elde edilmiş olup, U1U_1 kanonik değişkeninin XX veri seti içindeki toplam varyansı açıklama oranı (Proportion of Variance) %40\%40 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, elde edilen analiz sonuçları ve kanonik değişkenlerin teorik özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    U1U_1 ve V1V_1 arasındaki ortak varyans 0,640,64 olduğundan, birinci kanonik değişken U1U_1, YY veri setindeki toplam varyansın doğrudan %64\%64'ünü açıklamaktadır.
  2. B
    İlgili matrisin en büyük özdeğeri λ1=0,64\lambda_1 = 0,64 olarak bulunduğundan, Temel Bileşenler Analizindekine benzer şekilde U1U_1'in XX veri seti içinde açıkladığı varyans oranı da doğrudan %64\%64 olarak kabul edilir.
  3. Birinci kanonik değişken çifti dikkate alındığında, YY değişken seti tarafından XX veri setindeki toplam varyansın açıklanan oranını ifade eden fazlalık indeksi (redundancy index) %25,6\%25,6'dır.Cevap
  4. D
    XX veri setindeki orijinal değişkenler ile U1U_1 arasındaki korelasyonu ifade eden kanonik yüklerin (loadings) büyüklükleri, U1U_1'i elde etmek için kullanılan a1a_1 kanonik ağırlıklarına daima eşittir.
  5. E
    Analiz sonucunda hesaplanan ΣXX−1ΣXYΣYY−1ΣYX\Sigma_{XX}^{-1} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY}^{-1} \Sigma_{YX} matrisinin izi (trace), elde edilebilecek tüm kanonik korelasyon katsayılarının çarpımına eşittir.

Cevap

Birinci kanonik değişken çifti dikkate alındığında, YY değişken seti tarafından XX veri setindeki toplam varyansın açıklanan oranını ifade eden fazlalık indeksi (redundancy index) %25,6\%25,6'dır.
Kanonik Korelasyon Analizinde fazlalık indeksi (redundancy index), bir değişken setindeki toplam varyansın diğer değişken seti tarafından ne oranda açıklandığını gösteren asimetrik bir ölçüdür. İlgili indekse, hedeflenen setin kanonik değişkeni tarafından açıklanan varyans oranı (PVPV) ile o çifte ait kanonik korelasyonun karesinin (ρ2\rho^2) çarpımıyla ulaşılır. Soru metninde λ1=ρ12=0,64\lambda_1 = \rho_1^2 = 0,64 ve açıklanan varyans oranı 0,400,40 olarak verilmiştir. Bu durumda YY setinin XX seti üzerindeki fazlalık indeksi 0,40×0,64=0,2560,40 \times 0,64 = 0,256 (%25,6\text{\%}25,6) olarak kesin ve doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kanonik Korelasyon Analizinde özdeğer (λ\lambda) ile kanonik korelasyon katsayısı (ρ\rho) ilişkisini belirlemek.
İlgili matrisin özdeğeri, kanonik korelasyon katsayısının karesine eşittir. Dolayısıyla, birinci kanonik değişkenler U1U_1 ve V1V_1 arasındaki paylaşılan ortak varyans ρ12=λ1=0,64\rho_1^2 = \lambda_1 = 0,64'tür.
Fazlalık indeksini hesaplayabilmek için iki set arasındaki ortak varyansın tespit edilmesi gerekir.
2
XX veri setinin birinci kanonik değişkeninin (U1U_1) kendi seti içindeki varyansı açıklama oranını (PV) analiz etmek.
Soruda bu oran doğrudan PV=0,40PV = 0,40 (%40\text{\%}40) olarak verilmiştir.
Bir setin diğer set tarafından ne kadar açıklandığını bulmak için, o setin kendi kanonik değişkeni tarafından açıklanan varyansına ihtiyaç vardır.
3
YY veri setinin XX veri setindeki varyansı açıklama oranını veren fazlalık indeksini (Redundancy Index) hesaplamak.
Fazlalık İndeksi (RdRd) formülü: Rd(X∣V1)=PV(X∣U1)×ρ12Rd(X|V_1) = PV(X|U_1) \times \rho_1^2. Değerler yerine konulduğunda: 0,40×0,64=0,2560,40 \times 0,64 = 0,256 elde edilir. Bu da %25,6\%25,6'ya eşittir.
Fazlalık indeksi, Kanonik Korelasyon Analizinde bir setin varyansının ne kadarının karşı set tarafından açıklandığını gösteren nihai asimetrik bir ölçüdür.

Anahtar Kavram

Fazlalık İndeksi (Redundancy Index) ve Kanonik Özdeğerlerin Yorumlanması
Bu soruyu puanla

Konular

Kanonik Değişkenler ve Kanonik Korelasyon Katsayısı

Bu konudan daha fazla soru