Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Örneklemesinde Oran Tahmini

Bir enerji denetim firması, belirli bir Organize Sanayi Bölgesi'ndeki (OSB) endüstriyel üretim tesislerinde kullanılan aydınlatma armatürleri içinde LED armatürlerin oranını tahmin etmek istemektedir.

Bu OSB'de toplam N=50N = 50 üretim tesisi (küme) bulunmaktadır. Firma, bu tesisler arasından n=5n = 5 tesisi basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçmiş ve bu tesislerdeki toplam aydınlatma armatürü sayısını (MiM_i) ile LED armatür sayısını (aia_i) aşağıdaki gibi belirlemiştir:

Tesis (Küme)Toplam Armatür (MiM_i)LED Armatür (aia_i)
14024
24034
35040
46050
56052

Buna göre, bu organize sanayi bölgesindeki tüm tesisler için LED aydınlatma armatürü oranının küme örneklemesi nokta tahmini ve bu tahminin varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,790,79 ve 0,0017600,001760
  2. B
    0,800,80 ve 0,0017600,001760
  3. C
    0,790,79 ve 0,0015840,001584
  4. 0,800,80 ve 0,0015840,001584Cevap
  5. E
    0,800,80 ve 0,0079200,007920

Cevap

Doğru nokta tahmini 0,80 ve doğru varyans değeri 0,001584'tür.
Küme örneklemesinde oran tahmini, örnekleme çıkan tüm kümelerdeki ilgilenilen eleman sayılarının toplamının (∑ai\sum a_i), kümelerin toplam büyüklüğüne (∑Mi\sum M_i) bölünmesiyle bulunur. Burada nokta tahmini P^=200250=0,80\hat{P} = \frac{200}{250} = 0,80'dir. Oran tahminleyicisinin varyansı hesaplanırken her küme için yi=ai−P^Miy_i = a_i - \hat{P}M_i farkları bulunur ve bu farkların kareleri toplamından sc2=884=22s_c^2 = \frac{88}{4} = 22 elde edilir. Sonlu kitle düzeltme çarpanı (1−f=1−550=0,91-f = 1 - \frac{5}{50} = 0,9) formüle dahil edilerek V^(P^)=1−fnMˉ2sc2\hat{V}(\hat{P}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} s_c^2 işlemi sonucunda varyans 0,95×502×22=0,001584\frac{0,9}{5 \times 50^2} \times 22 = 0,001584 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam gözlem sayısının ve örneklemdeki ilgilenilen özelliğe sahip birim sayısının bulunması.
∑Mi=40+40+50+60+60=250\sum M_i = 40+40+50+60+60 = 250 ve ∑ai=24+34+40+50+52=200\sum a_i = 24+34+40+50+52 = 200.
Küme örneklemesinde oran tahminleyicisi P^=∑ai∑Mi\hat{P} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} formülüyle hesaplanır.
2
Nokta tahmininin (kitle oranının) hesaplanması.
P^=200250=0,80\hat{P} = \frac{200}{250} = 0,80.
Örnekleme alınan kümelerdeki ilgilenilen toplam birim sayısının, kümelerdeki toplam eleman sayısına bölünmesi ağırlıklandırılmış oran tahminini verir.
3
Varyans hesabı için kümelerin ortalama büyüklüğünün (Mˉ\bar{M}) ve yi=ai−P^Miy_i = a_i - \hat{P}M_i değerlerinin hesaplanması.
Mˉ=2505=50\bar{M} = \frac{250}{5} = 50. yiy_i değerleri sırasıyla: 24−0,8(40)=−824 - 0,8(40) = -8; 34−32=234 - 32 = 2; 40−40=040 - 40 = 0; 50−48=250 - 48 = 2; 52−48=452 - 48 = 4.
Varyans formülünde kümeler arası değişim, oran tahminine göre düzeltilmiş hata terimleri (yiy_i) üzerinden bulunur.
4
Örneklem varyansının (sc2s_c^2) hesaplanması.
∑yi2=(−8)2+22+02+22+42=64+4+0+4+16=88\sum y_i^2 = (-8)^2 + 2^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2 = 64 + 4 + 0 + 4 + 16 = 88. sc2=885−1=22s_c^2 = \frac{88}{5-1} = 22.
sc2=∑(ai−P^Mi)2n−1s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{P}M_i)^2}{n-1} formülü kullanılarak küme içi kareler toplamı elde edilir.
5
SKD (Sonlu Kitle Düzeltme) çarpanının ve varyansın hesaplanması.
f=550=0,1f = \frac{5}{50} = 0,1 ve SKD=1−0,1=0,9SKD = 1 - 0,1 = 0,9. V^(P^)=0,95×502×22=0,912500×22=0,001584\hat{V}(\hat{P}) = \frac{0,9}{5 \times 50^2} \times 22 = \frac{0,9}{12500} \times 22 = 0,001584.
Küme örneklemesinde oran tahmininin varyansı V^(P^)=1−fnMˉ2sc2\hat{V}(\hat{P}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} s_c^2 formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Küme Örneklemesinde Oran Tahmini ve Varyansı
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Örneklemesinde Oran Tahmini

Bu konudan daha fazla soru