Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKanonik Değişkenler ve Kanonik Korelasyon Katsayısı

XX ve YY, ortalamaları sıfır olan iki rastgele değişken vektörüdür. Bu veri setleri üzerinde yapılan kanonik korelasyon analizi sonucunda, ilk iki kanonik değişken çifti sırasıyla (U1,V1)(U_1, V_1) ve (U2,V2)(U_2, V_2) olarak elde edilmiştir. Analiz varsayımı gereği kanonik değişkenlerin varyanslarının standartlaştırılarak 11 yapıldığı (Var(Ui)=Var(Vi)=1Var(U_i)=Var(V_i)=1) bilinmektedir.

Elde edilen ilk iki kanonik korelasyon katsayısı ρ1=0,75\rho_1 = 0,75 ve ρ2=0,50\rho_2 = 0,50 olarak hesaplanmıştır.

Bir araştırmacı, bu kanonik değişkenlerin doğrusal birleşimini kullanarak aşağıdaki gibi iki yeni kompozit değişken (KK ve LL) oluşturmuştur:
K=4U1+3U2K = 4U_1 + 3U_2
L=8V1−6V2L = 8V_1 - 6V_2

Buna göre, KK ve LL kompozit değişkenleri arasındaki Pearson korelasyon katsayısı (rKLr_{KL}) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,15
  2. B
    0,27
  3. 0,30Cevap
  4. D
    0,45
  5. E
    0,66

Cevap

0,30
KK ve LL değişkenlerinin korelasyonu hesaplanırken, öncelikle varyansları bulunmalıdır. Var(K)=42+32=25Var(K) = 4^2 + 3^2 = 25 (standart sapması 55) ve Var(L)=82+(−6)2=100Var(L) = 8^2 + (-6)^2 = 100 (standart sapması 1010) olarak hesaplanır. İki setin kovaryansı için ortogonallik kuralı devreye girer; çapraz setlerde sadece aynı sıradaki kanonik değişkenlerin kovaryansı sıfırdan farklıdır. Cov(K,L)=4×8×Cov(U1,V1)+3×(−6)×Cov(U2,V2)Cov(K, L) = 4 \times 8 \times Cov(U_1, V_1) + 3 \times (-6) \times Cov(U_2, V_2) şeklinde yazılır. Değerler yerine konduğunda 32(0,75)−18(0,50)=24−9=1532(0,75) - 18(0,50) = 24 - 9 = 15 kovaryans değerine ulaşılır. Korelasyon ise 15/50=0,3015 / 50 = 0,30 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Kanonik değişkenlerin varyans ve kovaryans özelliklerini belirleme.
Var(Ui)=Var(Vi)=1Var(U_i) = Var(V_i) = 1. Aynı set içindeki değişkenler diktir: Cov(U1,U2)=0Cov(U_1, U_2) = 0, Cov(V1,V2)=0Cov(V_1, V_2) = 0. Çapraz setlerde sadece aynı indisli olanlar ilişkilidir: Cov(U1,V1)=0,75Cov(U_1, V_1) = 0,75, Cov(U2,V2)=0,50Cov(U_2, V_2) = 0,50. Çapraz indeksli kovaryanslar sıfırdır: Cov(U1,V2)=Cov(U2,V1)=0Cov(U_1, V_2) = Cov(U_2, V_1) = 0.
Kanonik korelasyon analizinin temel teorisi gereği kanonik boyutlar birbirinden bağımsızdır (ortogonaldir).
2
KK ve LL değişkenlerinin varyanslarını ve standart sapmalarını hesaplama.
Var(K)=42(1)+32(1)=16+9=25⇒σK=5Var(K) = 4^2(1) + 3^2(1) = 16 + 9 = 25 \Rightarrow \sigma_K = 5.
Var(L)=82(1)+(−6)2(1)=64+36=100⇒σL=10Var(L) = 8^2(1) + (-6)^2(1) = 64 + 36 = 100 \Rightarrow \sigma_L = 10.
Birbirinden bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun varyansı, ağırlıkların kareleri toplamına eşittir.
3
KK ve LL değişkenleri arasındaki kovaryansı hesaplama.
Cov(K,L)=Cov(4U1+3U2,8V1−6V2)Cov(K, L) = Cov(4U_1 + 3U_2, 8V_1 - 6V_2)
=32Cov(U1,V1)−24Cov(U1,V2)+24Cov(U2,V1)−18Cov(U2,V2)= 32 Cov(U_1, V_1) - 24 Cov(U_1, V_2) + 24 Cov(U_2, V_1) - 18 Cov(U_2, V_2)
=32(0,75)−0+0−18(0,50)= 32(0,75) - 0 + 0 - 18(0,50)
=24−9=15= 24 - 9 = 15.
İki kompozit değişkenin ortak değişimi (kovaryansı), kendilerini oluşturan temel bileşenlerin kovaryanslarının doğrusal kombinasyonudur.
4
Pearson korelasyon katsayısını hesaplama.
rKL=Cov(K,L)σK×σL=155×10=1550=0,30r_{KL} = \frac{Cov(K, L)}{\sigma_K \times \sigma_L} = \frac{15}{5 \times 10} = \frac{15}{50} = 0,30.
Korelasyon, kovaryansın ilgili değişkenlerin standart sapmalarının çarpımına oranlanması ile elde edilir.

Anahtar Kavram

Kanonik Değişkenlerin Ortogonalliği ve Doğrusal Kombinasyonların Varyansı
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kanonik Değişkenler ve Kanonik Korelasyon Katsayısı

Bu konudan daha fazla soru