Examkin

Soru

Zorluk: ZorKüme Örneklemesinde Oran Tahmini

Bir büyükşehir belediyesi, kent genelinde bulunan N=50N = 50 otobüs garajında (küme) faal olarak kullanılan otobüslerin '10 yıllık ekonomik ömrünü doldurma' oranını tahmin etmek istemektedir.

Bu amaçla rastgele n=5n = 5 garaj seçilmiş ve bu garajlardaki toplam otobüs sayıları (MiM_i) ile ekonomik ömrünü dolduran otobüs sayıları (aia_i) aşağıdaki gibi belirlenmiştir:

Garaj (ii)Toplam Otobüs Sayısı (MiM_i)10 Yılını Dolduran Otobüs Sayısı (aia_i)
15015
2306
34016
45010
58028

Buna göre, otobüslerin ekonomik ömrünü doldurma oranının küme örneklemesi tahminleyicisi (p^\hat{p}) ve bu tahminleyicinin varyans tahmini (v(p^)v(\hat{p})) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 0,300,30 ve 0,0011880,001188Cevap
  2. B
    0,300,30 ve 0,0013200,001320
  3. C
    0,290,29 ve 0,0011880,001188
  4. D
    0,290,29 ve 0,0014400,001440
  5. E
    0,300,30 ve 0,0009500,000950

Cevap

Doğru cevap 0,300,30 ve 0,0011880,001188 değerlerini veren seçenektir.
Küme örneklemesinde oran tahmini, gözlenen tüm ilgilenilen birimlerin (∑ai=75\sum a_i=75), örneklemdeki toplam birim sayısına (∑Mi=250\sum M_i=250) bölünmesi ile bulunur (p^=0,30\hat{p} = 0,30). Kümeler farklı büyüklükte olduğunda, oranın varyans tahmini her kümenin orana sapmasını dikkate alan sc2=∑(ai−p^Mi)2n−1s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1} istatistiği yardımıyla hesaplanır. Formülde SKD (1−f=0,901-f = 0,90) ve paydadaki küme başı ortalama büyüklüğün karesi (nMˉ2n\bar{M}^2) kullanılarak işlem tamamlandığında nihai varyans 0,0011880,001188 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle oranının tahminini (p^\hat{p}) hesapla.
∑Mi=50+30+40+50+80=250\sum M_i = 50 + 30 + 40 + 50 + 80 = 250
∑ai=15+6+16+10+28=75\sum a_i = 15 + 6 + 16 + 10 + 28 = 75
p^=∑ai∑Mi=75250=0,30\hat{p} = \frac{\sum a_i}{\sum M_i} = \frac{75}{250} = 0,30
Küme örneklemesinde oran tahmini, gözlenen ilgilenilen özellik sayısının toplam örneklemdeki birim sayısına bölünmesiyle (ağırlıklı oran) bulunur.
2
Varyans hesabında kullanılacak küme başına düşen ortalama birim sayısını (Mˉ\bar{M}) hesapla.
Mˉ=∑Min=2505=50\bar{M} = \frac{\sum M_i}{n} = \frac{250}{5} = 50
Varyans formülünün paydasında, örnekleme giren kümelerin ortalama büyüklüğünün karesi (Mˉ2\bar{M}^2) kullanılmalıdır.
3
Kümeler arası değişim için sc2=∑(ai−p^Mi)2n−1s_c^2 = \frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1} değerini hesapla.
1. Garaj: 15−(0,30×50)=0  ⟹  02=015 - (0,30 \times 50) = 0 \implies 0^2 = 0
2. Garaj: 6−(0,30×30)=−3  ⟹  (−3)2=96 - (0,30 \times 30) = -3 \implies (-3)^2 = 9
3. Garaj: 16−(0,30×40)=4  ⟹  42=1616 - (0,30 \times 40) = 4 \implies 4^2 = 16
4. Garaj: 10−(0,30×50)=−5  ⟹  (−5)2=2510 - (0,30 \times 50) = -5 \implies (-5)^2 = 25
5. Garaj: 28−(0,30×80)=4  ⟹  42=1628 - (0,30 \times 80) = 4 \implies 4^2 = 16
Toplam =0+9+16+25+16=66= 0 + 9 + 16 + 25 + 16 = 66
sc2=665−1=664=16,5s_c^2 = \frac{66}{5-1} = \frac{66}{4} = 16,5
Küme örneklemesinde varyans tahmini, her bir kümenin beklenen ilgilenilen değerden ne kadar saptığının kareleri toplamına dayanır.
4
Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) belirle.
f=nN=550=0,10f = \frac{n}{N} = \frac{5}{50} = 0,10
SKD=1−f=1−0,10=0,90SKD = 1 - f = 1 - 0,10 = 0,90
Örnekleme iadesiz yapıldığı ve örnekleme kesri ihmal edilemeyecek düzeyde olduğu için varyans hesabında 1−f1-f kullanılmalıdır.
5
Varyans tahminini (v(p^)v(\hat{p})) nihai formülde hesapla.
v(p^)=1−fnMˉ2×sc2v(\hat{p}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} \times s_c^2
v(p^)=0,905×502×16,5=0,90×16,512500=14,8512500=0,001188v(\hat{p}) = \frac{0,90}{5 \times 50^2} \times 16,5 = \frac{0,90 \times 16,5}{12500} = \frac{14,85}{12500} = 0,001188
Küme örneklemesinde oran tahmininin varyansı, hata kareler ortalamasının ortalama küme büyüklüğü ve SKD dikkate alınarak düzeltilmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Farklı büyüklüklü kümelerde oran tahmini ve varyansı
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Örneklemesinde Oran Tahmini

Bu konudan daha fazla soru