Bir makine parçasının aşınma miktarları, bilinmeyen bir \theta > 0 parametresine bağlı sür… — KPSS İstatistik

Bir makine parçasının aşınma miktarları, bilinmeyen bir $\theta > 0$ parametresine bağlı sürekli bir rassal değişken ile modellenmektedir. Bu rassal değişkene ait $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız rastgele örnekleminin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3(\theta-x)^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

$\theta$ parametresinin tahmini için $T = 5\bar{X}$ tahmin edicisi öneriliyor. (Burada $\bar{X}$ , örneklem ortalamasıdır.)

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{n+15}{16n}\theta^2$ Cevap
B
$\frac{15}{16n}\theta^2$
C
$\frac{n+3}{16n}\theta^2$
D
$\frac{15-n}{16n}\theta^2$
E
$\frac{16n+15}{16n}\theta^2$

Cevap

Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerini veren

\frac{n+15}{16n}\theta^2

ifadesidir.

Bir tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına (

MSE = Var(T) + Bias^2

) eşittir. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan kitlenin beklenen değeri

E[X] = \theta/4

ve varyansı

Var(X) = 3\theta^2/80

olarak bulunur.

T = 5\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değeri

E[T] = 5\theta/4

olup, buradan tahmin edicinin yan miktarı

\theta/4

olarak hesaplanır. Tahmin edicinin varyansı ise

Var(T) = 25Var(\bar{X}) = 15\theta^2/16n

şeklinde elde edilir. Bu iki değer MSE formülünde yerine konulduğunda

\frac{15\theta^2}{16n} + \frac{\theta^2}{16} = \frac{n+15}{16n}\theta^2

doğru sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplamak.

E[X] = \int_0^\theta x \frac{3(\theta-x)^2}{\theta^3} dx = \frac{\theta}{4}

Tahmin edicinin (T) beklenen değerini bulmak için öncelikle tek bir gözlemin beklenen değerine ihtiyaç vardır.

Kitlenin varyansını (

Var(X)

) hesaplamak.

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{3(\theta-x)^2}{\theta^3} dx = \frac{\theta^2}{10}

olup,

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{10} - \frac{\theta^2}{16} = \frac{3\theta^2}{80}

bulunur.

Tahmin edicinin varyansını elde edebilmek için kitlenin varyansının bilinmesi gereklidir.

Tahmin edicinin yan miktarını (

Bias

) hesaplamak.

E[T] = E[5\bar{X}] = 5E[\bar{X}] = 5 \times \frac{\theta}{4} = \frac{5\theta}{4}

olup, Yan =

E[T] - \theta = \frac{5\theta}{4} - \theta = \frac{\theta}{4}

olarak hesaplanır.

Tahmin edici yanlıdır ve Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesabı için yan miktarının karesine ihtiyaç vardır.

Tahmin edicinin varyansını (

Var(T)

) bulmak.

Var(T) = Var(5\bar{X}) = 25Var(\bar{X}) = 25 \times \frac{Var(X)}{n} = 25 \times \frac{3\theta^2}{80n} = \frac{75\theta^2}{80n} = \frac{15\theta^2}{16n}

bulunur.

MSE formülünün ikinci bileşeni olan varyansı elde etmek için hesaplanır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerini bulmak.

MSE(T) = Var(T) + Bias^2 = \frac{15\theta^2}{16n} + (\frac{\theta}{4})^2 = \frac{15\theta^2}{16n} + \frac{\theta^2}{16} = \frac{n+15}{16n}\theta^2

sonucuna ulaşılır.

MSE değeri, tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru