Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bir tekstil fabrikasında kumaşların dayanıklılık testi sonuçları XX rassal değişkeni ile modellenmektedir. θ>0\theta > 0 olmak üzere, XX değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x;θ)=3(θ−x)2θ3,0<x<θf(x; \theta) = \frac{3(\theta-x)^2}{\theta^3}, \quad 0 < x < \theta

Bu kitleden seçilen nn birimlik bir örneklem için Xˉ\bar{X} örneklem ortalaması olmak üzere, θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla T=2XˉT = 2\bar{X} tahmin edicisi önerilmiştir. Buna göre, TT tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (5n+3)θ220n\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}Cevap
  2. B
    3θ220n\frac{3\theta^2}{20n}
  3. C
    (2n+3)θ220n\frac{(2n+3)\theta^2}{20n}
  4. D
    (5n+1)θ220n\frac{(5n+1)\theta^2}{20n}
  5. E
    (3n+5)θ220n\frac{(3n+5)\theta^2}{20n}

Cevap

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (5n+3)θ220n\frac{(5n+3)\theta^2}{20n} ifadesine eşittir.
Tahmin edicinin beklenen değeri E[T]=θ/2E[T] = \theta/2 olup θ\theta parametresinden farklıdır, bu nedenle yan miktarı −θ/2-\theta/2 olur. Varyans terimi ile bu yan miktarının karesi (θ2/4 \theta^2/4 ) toplandığında payda eşitleme sonucu doğru ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle beklenen değerini (E[X]E[X]) hesaplayın.
E[X]=∫0θx3(θ−x)2θ3dx=θ4E[X] = \int_0^\theta x \frac{3(\theta-x)^2}{\theta^3} dx = \frac{\theta}{4}
Örneklem ortalamasının beklenen değerini bulmak için kitlenin beklenen değeri gereklidir.
2
Kitle varyansını (Var(X)Var(X)) hesaplayın.
E[X2]=θ210⇒Var(X)=θ210−(θ4)2=3θ280E[X^2] = \frac{\theta^2}{10} \Rightarrow Var(X) = \frac{\theta^2}{10} - \left(\frac{\theta}{4}\right)^2 = \frac{3\theta^2}{80}
Tahmin edicinin varyansını hesaplamak için kitle varyansına ihtiyaç vardır.
3
Tahmin edicinin varyansını (Var(T)Var(T)) ve yan (bias) miktarını hesaplayın.
Var(T)=4Var(X)n=3θ220nVar(T) = 4 \frac{Var(X)}{n} = \frac{3\theta^2}{20n} ve Bias(T)=E[2Xˉ]−θ=2θ4−θ=−θ2Bias(T) = E[2\bar{X}] - \theta = 2\frac{\theta}{4} - \theta = -\frac{\theta}{2}
MSE formülü varyans ve yan miktarının karesinin toplamından oluşur.
4
MSE formülünü uygulayın.
MSE(T)=Var(T)+[Bias(T)]2=3θ220n+θ24=(5n+3)θ220nMSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2 = \frac{3\theta^2}{20n} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{(5n+3)\theta^2}{20n}
Tanım gereği Hata Kareler Ortalaması, varyans ile yan karesinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması (MSE) bileşenleri
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Bu konudan daha fazla soru