Examkin

Soru

Zorluk: ZorTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir kalite kontrol mühendisi, yeni nesil bir elektronik parçanın dayanım süresini saat cinsinden incelemektedir. Bu dayanım sürelerinin, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere, (θ,2θ)(\theta, 2\theta) aralığında sürekli üniform dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır. Mühendis, nn adet parçayı test ederek X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklem değerlerini elde etmiştir.

Buna göre, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kullanıldığında θ\theta parametresi için ortak yeterli (sufficient) istatistik aşağıdakilerden hangisidir? (Burada X(1)X_{(1)} en küçük sıra istatistiğini, X(n)X_{(n)} ise en büyük sıra istatistiğini göstermektedir.)

  1. (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})Cevap
  2. B
    X(n)X_{(n)}
  3. C
    X(1)X_{(1)}
  4. D
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i
  5. E
    X(n)−X(1)X_{(n)} - X_{(1)}

Cevap

θ\theta parametresi için ortak yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) vektörüdür.
Verilen dağılımda alt sınır θ\theta, üst sınır ise 2θ2\theta'dır. Olasılık yoğunluk fonksiyonundaki gösterge fonksiyonları çarpıldığında, parametrenin sınırladığı bölge I(θ≤X(1))I(\theta \leq X_{(1)}) ve I(X(n)≤2θ)I(X_{(n)} \leq 2\theta) olarak karşımıza çıkar. Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uygulandığında olabilirlik fonksiyonu g(X(1),X(n),θ)g(X_{(1)}, X_{(n)}, \theta) ve h(x)h(\mathbf{x}) olarak ayrılır. θ\theta sadece en küçük ve en büyük sıra istatistikleri ile birlikte bulunduğu için her iki istatistik de zorunludur ve ortak yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)}) vektörüdür.

Adım Adım Çözüm

1
Kitleden alınan tek bir gözlemin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (pdf) gösterge (indicator) fonksiyonu yardımıyla ifade et.
f(x;θ)=12θ−θ=1θ⋅I(θ≤x≤2θ)f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta - \theta} = \frac{1}{\theta} \cdot I(\theta \leq x \leq 2\theta)
Dağılımın sınırları bilinmeyen θ\theta parametresine bağlı olduğunda, yeterli istatistiği bulabilmek için sınırların gösterge fonksiyonu ile açıkça yazılması şarttır.
2
nn çaplı örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluştur.
L(θ;x)=∏i=1nf(xi;θ)=1θn∏i=1nI(θ≤xi≤2θ)L(\theta; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) = \frac{1}{\theta^n} \prod_{i=1}^{n} I(\theta \leq x_i \leq 2\theta)
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi, ortak olasılık (olabilirlik) fonksiyonunun incelenmesine dayanır.
3
Gösterge fonksiyonlarının çarpımını, sıra istatistikleri cinsinden tek bir ifadeye dönüştür.
Tüm xix_i değerlerinin θ\theta ile 2θ2\theta arasında olması, en küçük değerin θ\theta'dan büyük veya eşit, en büyük değerin ise 2θ2\theta'dan küçük veya eşit olmasını gerektirir: I(θ≤X(1))⋅I(X(n)≤2θ)I(\theta \leq X_{(1)}) \cdot I(X_{(n)} \leq 2\theta). Buna göre L(θ;x)=1θn⋅I(X(n)2≤θ≤X(1))L(\theta; \mathbf{x}) = \frac{1}{\theta^n} \cdot I(\frac{X_{(n)}}{2} \leq \theta \leq X_{(1)}) elde edilir.
Çarpım durumundaki gösterge fonksiyonlarının sınır şartları, örneklemin sadece minimum ve maksimum değerlerine indirgenebilir.
4
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremini uygulayarak istatistiği belirle.
L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) formatında; h(x)=1h(\mathbf{x}) = 1 ve g(T(x),θ)=1θnI(X(n)2≤θ≤X(1))g(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} I(\frac{X_{(n)}}{2} \leq \theta \leq X_{(1)}) olarak bulunur. Fonksiyon θ\theta'ya X(1)X_{(1)} ve X(n)X_{(n)} aracılığıyla bağlandığından ortak yeterli istatistik (X(1),X(n))(X_{(1)}, X_{(n)})'dir.
Teoreme göre θ\theta'yı ve veriyi bir arada barındıran gg fonksiyonunun veriye bağlı kısmı yeterli istatistiktir.

Anahtar Kavram

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi (Neyman Factorization Theorem) ve Gösterge Fonksiyonları
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bu konudan daha fazla soru