Bir bilişim sisteminde belirli bir zaman aralığında tespit edilen siber saldırıların sayıs… — KPSS İstatistik

Bir bilişim sisteminde belirli bir zaman aralığında tespit edilen siber saldırıların sayısı $X$ ve sistemsel hata uyarılarının sayısı $Y$ bağımsız rastgele değişkenlerdir. Bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla $M_X(t) = e^{4(e^t - 1)}$ ve $M_Y(t) = e^{6(e^t - 1)}$ olarak modellenmiştir.

Sistem yöneticisi, sunucudaki genel risk skorunu $R = 2X + 2Y + 5$ biçiminde doğrusal bir dönüşüm ile hesaplamaktadır.

Moment çıkaran fonksiyon özellikleri dikkate alındığında, risk skoru $R$ 'nin moment çıkaran fonksiyonu $M_R(t)$ ve varyansı aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru olarak verilmiştir?

$M_R(t) = e^{5t + 10(e^{2t} - 1)}$ ve $\text{Var}(R) = 40$ Cevap
B
$M_R(t) = e^{5t + 20(e^t - 1)}$ ve $\text{Var}(R) = 20$
C
$M_R(t) = e^{5t + 10(e^{2t} - 1)}$ ve $\text{Var}(R) = 25$
D
$M_R(t) = e^{5t + 10(e^t - 1)}$ ve $\text{Var}(R) = 40$
E
$M_R(t) = e^{5t + 20(e^{2t} - 1)}$ ve $\text{Var}(R) = 45$

Cevap

Doğru yanıt,

M_R(t) = e^{5t + 10(e^{2t} - 1)}

\text{Var}(R) = 40

ifadelerini içeren seçenektir.

Soruda verilen bağımsız değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonlarının çarpımı

X+Y \sim \text{Poisson}(10)

dağılımını işaret eder.

R = 2(X+Y) + 5

dönüşümü uygulandığında, doğrusal dönüşüm MGF kuralı (

M_{aZ+b}(t) = e^{bt}M_Z(at)

) gereği

M_R(t) = e^{5t}M_{X+Y}(2t) = e^{5t}e^{10(e^{2t}-1)}

sonucuna ulaşılır. Varyans hesabı ise varyansın doğrusal dönüşüm özelliği olan

\text{Var}(aZ+b) = a^2 \text{Var}(Z)

formülü kullanılarak

\text{Var}(R) = 2^2(10) = 40

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Bağımsız

X

Y

değişkenlerinin toplamının moment çıkaran fonksiyonunu hesaplama

Z = X + Y

için

M_Z(t) = M_X(t)M_Y(t) = e^{4(e^t - 1)} \cdot e^{6(e^t - 1)} = e^{10(e^t - 1)}

elde edilir (

\lambda = 10

olan Poisson dağılımı).

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının moment çıkaran fonksiyonu, bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonlarının çarpımına eşittir.

R = 2(X+Y) + 5

doğrusal dönüşümü için MGF kuralını uygulama

Z = X + Y

olmak üzere,

M_R(t) = e^{5t}M_Z(2t) = e^{5t}e^{10(e^{2t} - 1)}

olarak bulunur.

R = aZ + b

şeklindeki bir doğrusal dönüşümün moment çıkaran fonksiyonu

M_R(t) = e^{bt}M_Z(at)

genel formülü ile hesaplanır.

R

değişkeninin varyansını hesaplama

MGF'den

Z \sim \text{Poisson}(10)

olduğu görülür ve

\text{Var}(Z) = 10

'dur.

\text{Var}(R) = \text{Var}(2Z + 5) = 2^2 \text{Var}(Z) = 4 \times 10 = 40

bulunur.

Doğrusal dönüşümlerde varyans kuralı

\text{Var}(aZ + b) = a^2 \text{Var}(Z)

şeklindedir; doğrusal eklenen sabit terim (b) varyansı etkilemez.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonlar ile Doğrusal Dönüşümler ve Dağılım Parametrelerinin Elde Edilmesi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular