Bir kamu kurumunda veri analisti olarak görev yapan bir uzman, incelediği bir değişkenin o… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda veri analisti olarak görev yapan bir uzman, incelediği bir değişkenin ortalaması $\theta$ ve varyansı $\theta^2$ olan üstel dağılıma sahip olduğunu bilmektedir. Uzman, kitleden seçtiği $n$ hacimli rastgele örneklemin ortalamasını ( $\bar{X}$ ) kullanarak $\theta$ parametresi için $T = \frac{n}{n+1}\bar{X}$ tahmin edicisini önermiştir.

Buna göre, önerilen $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{n\theta^2}{(n+1)^2}$
B
$\frac{(n-1)\theta^2}{(n+1)^2}$
$\frac{\theta^2}{n+1}$ Cevap
D
$\frac{\theta^2}{n}$
E
$\frac{\theta^2}{(n+1)^2}$

Cevap

\frac{\theta^2}{n+1}

Hata kareler ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir (

MSE = Var(T) + Yan^2(T)

). Verilen

T = \frac{n}{n+1}\bar{X}

tahmin edicisi için beklenen değer

E(T) = \frac{n}{n+1}\theta

'dır. Buradan yan miktarı

Yan(T) = \frac{n}{n+1}\theta - \theta = -\frac{\theta}{n+1}

olarak bulunur ve karesi

\frac{\theta^2}{(n+1)^2}

olur. Tahmin edicinin varyansı ise

Var(T) = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 Var(\bar{X}) = \frac{n^2}{(n+1)^2} \frac{\theta^2}{n} = \frac{n\theta^2}{(n+1)^2}

olarak hesaplanır. Bu iki bileşen toplandığında

MSE(T) = \frac{n\theta^2}{(n+1)^2} + \frac{\theta^2}{(n+1)^2} = \frac{(n+1)\theta^2}{(n+1)^2} = \frac{\theta^2}{n+1}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

T

tahmin edicisinin beklenen değerini hesaplamak

E(T) = E\left(\frac{n}{n+1}\bar{X}\right) = \frac{n}{n+1} E(\bar{X}) = \frac{n}{n+1}\theta

MSE hesabında yan miktarını (bias) bulabilmek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değeri bilinmelidir.

T

tahmin edicisinin yan (bias) miktarını ve karesini hesaplamak

Yan(T) = E(T) - \theta = \frac{n}{n+1}\theta - \theta = \frac{-\theta}{n+1}

. Yan miktarının karesi:

Yan^2(T) = \frac{\theta^2}{(n+1)^2}

Hata kareler ortalamasının bir bileşeni, tahmin edicinin yan miktarının karesidir.

T

tahmin edicisinin varyansını hesaplamak

Var(T) = Var\left(\frac{n}{n+1}\bar{X}\right) = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 Var(\bar{X}) = \frac{n^2}{(n+1)^2} \frac{\theta^2}{n} = \frac{n\theta^2}{(n+1)^2}

Hata kareler ortalamasının diğer temel bileşeni tahmin edicinin varyansıdır.

Varyans ile yan miktarının karesini toplayarak MSE'yi elde etmek

MSE(T) = Var(T) + Yan^2(T) = \frac{n\theta^2}{(n+1)^2} + \frac{\theta^2}{(n+1)^2} = \frac{(n+1)\theta^2}{(n+1)^2} = \frac{\theta^2}{n+1}

Genel MSE formülü

Var(T) + Bias^2(T)

şeklindedir ve her iki bileşen toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yanlı Tahmin Edicilerde Hata Kareler Ortalaması (MSE) Hesabı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru