Bir finansal analist, bir yatırım fonunun günlük getiri oranlarını incelemektedir. Günlük … — KPSS İstatistik

Bir finansal analist, bir yatırım fonunun günlük getiri oranlarını incelemektedir. Günlük getirilerin birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı olduğu; beklenen değerinin $\mu$ ve varyansının $\sigma^2$ olduğu varsayılmaktadır. Analist, $n$ günlük bir rastgele örneklemin ortalamasını ( $\bar{X}$ ) hesaplamış ve $\mu$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki tahmin ediciyi önermiştir:

\tilde{\mu} = \frac{n}{n+2}\bar{X} + \frac{m}{n+2}

Burada $m$ , analistin önceden belirlediği sabit bir değerdir.
Buna göre, $\tilde{\mu}$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A
$\frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}$
B
$\frac{n\sigma^2 + m^2}{(n+2)^2}$
C
$\frac{n^2\sigma^2 + (m - 2\mu)^2}{(n+2)^2}$
$\frac{n\sigma^2 + (m - 2\mu)^2}{(n+2)^2}$ Cevap
E
$\frac{n\sigma^2 + (m + 2\mu)^2}{(n+2)^2}$

Cevap

\frac{n\sigma^2 + (m - 2\mu)^2}{(n+2)^2}

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir. Tahmin edicinin varyansı hesaplanırken, öncelikle

\bar{X}

'in katsayısı karesi alınarak dışarı çıkarılır ve örneklem ortalamasının varyansı (

\sigma^2/n

) ile çarpılır; bu işlem

n\sigma^2/(n+2)^2

sonucunu verir. Sabit terimin varyansı sıfırdır. İkinci aşamada, tahmin edicinin beklenen değerinden gerçek parametre (

\mu

) çıkarılarak yan miktarı hesaplanır ve

(m-2\mu)/(n+2)

değeri bulunur. Bulunan varyans değeri ile yan miktarının karesi toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplama

E[\tilde{\mu}] = \frac{n}{n+2}\mu + \frac{m}{n+2}

Yan miktarını (bias) bulabilmek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değerine ulaşılmalıdır. Beklenen değer operatörünün doğrusal özelliğinden yararlanılır.

Tahmin edicinin yan (bias) miktarını bulma

Yan(\tilde{\mu}) = E[\tilde{\mu}] - \mu = \frac{n\mu + m}{n+2} - \mu = \frac{n\mu + m - (n+2)\mu}{n+2} = \frac{m - 2\mu}{n+2}

Tahmin edicinin gerçek parametreden sistematik olarak ne kadar saptığını belirlemek için bu fark hesaplanır.

Tahmin edicinin varyansını hesaplama

Var(\tilde{\mu}) = \left(\frac{n}{n+2}\right)^2 Var(\bar{X}) = \frac{n^2}{(n+2)^2} \frac{\sigma^2}{n} = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2}

MSE denklemindeki varyans bileşenini elde etmek için hesaplanır. Sabit terimin varyansı sıfırdır ve değişkenin katsayısı varyans dışına karesi alınarak çıkar.

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) hesaplama

MSE(\tilde{\mu}) = Var(\tilde{\mu}) + [Yan(\tilde{\mu})]^2 = \frac{n\sigma^2}{(n+2)^2} + \left(\frac{m - 2\mu}{n+2}\right)^2 = \frac{n\sigma^2 + (m - 2\mu)^2}{(n+2)^2}

MSE, her zaman tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Yanlı Tahmin Edicilerde Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru