Examkin

Soru

Zorluk: KolayAsimptotik Yansızlık

Bir parametre tahmin çalışmasında, örneklem çapı nn olan bir kitle için θ\theta parametresinin θ^n\hat{\theta}_n tahmin edicisinin beklenen değeri E(θ^n)=(1−5n)θE(\hat{\theta}_n) = \left(1 - \frac{5}{n}\right)\theta şeklinde ifade edilmektedir.

Buna göre, söz konusu tahmin edici için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

  1. A
    Tahmin edici her örneklem büyüklüğünde yansızlık koşulunu yerine getirmektedir.
  2. Beklenen değerin limiti θ\theta olduğu için asimptotik yansızlık özelliği sağlanır ancak her nn için yanlıdır.Cevap
  3. C
    nn sonsuza giderken beklenen değer θ\theta değerinden uzaklaştığı için asimptotik olarak yanlıdır.
  4. D
    Tahmin edicinin beklenen değeri her nn için θ\theta değerine eşit olduğundan hem yansız hem de asimptotik yansızdır.
  5. E
    Yan (bias) miktarı sabit olup örneklem büyüklüğü arttıkça değişmemektedir.

Cevap

Beklenen değerin limiti parametrenin kendisine eşit olduğu için asimptotik yansızlık özelliği sağlanır ancak sonlu örneklemlerde yanlıdır.
Tahmin edicinin beklenen değeri E(θ^n)=θ−5θ/nE(\hat{\theta}_n) = \theta - 5\theta/n olarak verilmiştir. Bu ifade θ\theta değerinden farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır. Ancak örneklem çapı nn sonsuza giderken 5θ/n5\theta/n terimi sıfıra yaklaştığından, beklenen değerin limiti θ\theta olur. Bu durum tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Tahmin edicinin yanlı olup olmadığını kontrol etmek için beklenen değerini inceleyin.
E(θ^n)=θ−5θnE(\hat{\theta}_n) = \theta - \frac{5\theta}{n}
Bir tahmin edicinin yansız olması için beklenen değerinin tahmin edilen parametreye eşit olması gerekir.
2
Yan (bias) miktarını hesaplayın.
B(θ^n)=E(θ^n)−θ=−5θnB(\hat{\theta}_n) = E(\hat{\theta}_n) - \theta = -\frac{5\theta}{n}
Yan miktarı sıfırdan farklı olduğu için tahmin edici yanlıdır.
3
Asimptotik yansızlık özelliği için beklenen değerin n→∞n \rightarrow \infty iken limitini hesaplayın.
lim⁡n→∞E(θ^n)=lim⁡n→∞(θ−5θn)=θ\lim_{n \to \infty} E(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \to \infty} \left( \theta - \frac{5\theta}{n} \right) = \theta
Limit değeri parametrenin kendisine (θ\theta) eşit olduğundan asimptotik yansızlık şartı sağlanır.

Anahtar Kavram

Asimptotik Yansızlık
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Asimptotik Yansızlık

Bu konudan daha fazla soru