Examkin

Soru

Zorluk: ZorRegresyon Tahminleyicisinin Varyansı ve Etkinliği

Bir eğitim araştırma enstitüsü, ülke genelinde faaliyet gösteren N=400N = 400 adet özel okulun yıllık teknoloji harcamaları toplamını (yy) tahmin etmek istemektedir. Enstitü, basit rastgele örnekleme yöntemiyle iadesiz olarak n=80n = 80 okuldan oluşan bir örneklem seçmiştir.

Yapılan ön çalışmalarda, okulların teknoloji harcamalarına ait kitle varyansının Sy2=5000S_y^2 = 5000 olduğu ve okulların öğrenci sayısı (xx) ile teknoloji harcamaları (yy) arasındaki korelasyon katsayısının ρ=0,50\rho = 0,50 olduğu belirlenmiştir.

(Örneklem hacminin yeterince büyük olduğu ve büyük örneklem varyans formüllerinin geçerli olduğu varsayılmaktadır.)

Buna göre, öğrenci sayısı yardımcı değişken olarak kullanıldığında elde edilecek regresyon tahminleyicisi ile kitle toplamı tahmininin varyansı (V(Y^reg)V(\hat{Y}_{reg})) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1,5×1041,5 \times 10^4
  2. B
    4×1064 \times 10^6
  3. 6×1066 \times 10^6Cevap
  4. D
    7,5×1067,5 \times 10^6
  5. E
    8×1068 \times 10^6

Cevap

Regresyon tahminleyicisi ile kitle toplamının varyansı 6×1066 \times 10^6 olarak bulunur.
Regresyon tahminleyicisinin toplam varyans formülü V(Y^reg)=N2⋅1−fnSy2(1−ρ2)V(\hat{Y}_{reg}) = N^2 \cdot \frac{1-f}{n} S_y^2 (1 - \rho^2) şeklindedir. İadesiz örnekleme yapıldığı için 1−f=0,81-f = 0,8 çarpanı kullanılmış, korelasyon katsayısı ρ=0,5\rho = 0,5 yerine konarak (1−0,52)=0,75(1-0,5^2) = 0,75 indirgeme faktörü elde edilmiştir. Ortalama varyansı (50×0,75=37,550 \times 0,75 = 37,5) bulunduktan sonra, soruda 'kitle toplamının' varyansı sorulduğu için değer N2=160.000N^2 = 160.000 ile çarpılmış ve sonuç 6×1066 \times 10^6 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Örnekleme kesrini (ff) ve Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanını hesaplayın.
f=nN=80400=0,2f = \frac{n}{N} = \frac{80}{400} = 0,2 bulunur. İadesiz seçim olduğu için SKD çarpanı 1−f=1−0,2=0,81 - f = 1 - 0,2 = 0,8 olur.
Varyans hesabında kitle sonlu ve örneklem iadesiz seçildiği için (1−f)(1-f) düzeltmesi yapılmalıdır.
2
Basit Rastgele Örnekleme (BRO) için kitle ortalamasının varyansını hesaplayın.
V(yˉBRO)=1−fnSy2=0,880×5000=0,01×5000=50V(\bar{y}_{BRO}) = \frac{1-f}{n} S_y^2 = \frac{0,8}{80} \times 5000 = 0,01 \times 5000 = 50
Regresyon tahminleyicisinin varyansı, BRO ortalama varyansının (1−ρ2)(1-\rho^2) katına eşittir. Önce temel BRO varyansı bulunmalıdır.
3
Korelasyon katsayısını kullanarak regresyon tahminleyicisine ait ortalama varyansını bulun.
V(yˉreg)=V(yˉBRO)×(1−ρ2)=50×(1−0,52)=50×(1−0,25)=50×0,75=37,5V(\bar{y}_{reg}) = V(\bar{y}_{BRO}) \times (1 - \rho^2) = 50 \times (1 - 0,5^2) = 50 \times (1 - 0,25) = 50 \times 0,75 = 37,5
Öğrenci sayısı (xx) ile harcama (yy) arasındaki ilişki, tahmin varyansını (1−ρ2)(1-\rho^2) oranında daraltır.
4
Ortalama varyansından kitle toplamı varyansına geçiş yapın.
V(Y^reg)=N2×V(yˉreg)=4002×37,5=160.000×37,5=6.000.000=6×106V(\hat{Y}_{reg}) = N^2 \times V(\bar{y}_{reg}) = 400^2 \times 37,5 = 160.000 \times 37,5 = 6.000.000 = 6 \times 10^6
Kitle toplamı Y^=N×yˉ\hat{Y} = N \times \bar{y} olduğundan, varyansı ortalama varyansının N2N^2 katıdır.

Anahtar Kavram

Regresyon Tahminleyicisinin Varyansı ve Toplam Tahmini
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Regresyon Tahminleyicisinin Varyansı ve Etkinliği