Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Adalet Bakanlığı'nda görevli bir uzman, belirli bir ihtiyati tedbir türünün ortalama sonuçlanma süresini (gün) tahmin etmek amacıyla n=16n=16 dosyadan oluşan rastgele bir örneklem seçmiştir. Dosyaların sonuçlanma sürelerinin normal dağıldığı varsayılmaktadır.

Uzman, kitle varyansının bilinmediği bu durumda yanlışlıkla standart normal dağılım (ZZ) tablosunu kullanarak kitle ortalaması (μ\mu) için %95\%95'lik güven aralığını (18.04,  21.96)(18.04,\; 21.96) olarak hesaplamıştır.

Buna göre, kitle ortalaması için hesaplanması gereken doğru %95\%95'lik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(Tablo değerlerini: Z0.025=1.96Z_{0.025} = 1.96, t15,0.025=2.131t_{15, 0.025} = 2.131, t16,0.025=2.120t_{16, 0.025} = 2.120, t15,0.05=1.753t_{15, 0.05} = 1.753 olarak alınız.)

  1. A
    (18.247,  21.753)(18.247,\; 21.753)
  2. B
    (19.467,  20.533)(19.467,\; 20.533)
  3. (17.869,  22.131)(17.869,\; 22.131)Cevap
  4. D
    (17.880,  22.120)(17.880,\; 22.120)
  5. E
    (11.476,  28.524)(11.476,\; 28.524)

Cevap

Kitle ortalaması için doğru %95'lik güven aralığı (17.869,22.131)(17.869, 22.131)'dir.
Sorunun çözümünde ilk adım, hatalı olarak verilen Z-aralığından örnekleme ait istatistiklerin çekilmesidir. Güven aralığının orta noktası her zaman örneklem ortalamasına (xˉ\bar{x}) eşittir; bu durumda (18.04+21.96)/2=20(18.04+21.96)/2 = 20'dir. İkinci adımda hata payı (margin of error) bulunur: 21.96−20=1.9621.96 - 20 = 1.96. Uzman ZZ tablosunu kullandığı için bu hata payı Z×(S/n)Z \times (S/\sqrt{n}) formülünden gelmektedir. 1.96=1.96×(S/4)1.96 = 1.96 \times (S/4) eşitliğinden örneklem standart sapması S=4S=4 olarak bulunur. Gerçekte kitle varyansı bilinmediği için serbestlik derecesi n−1=15n-1 = 15 olan T dağılımı kullanılmalıdır. İlgili kritik değer t15,0.025=2.131t_{15, 0.025} = 2.131'dir. Yeni ve doğru hata payı E=2.131×(4/16)=2.131E = 2.131 \times (4/\sqrt{16}) = 2.131 olur. Aralık ise 20±2.13120 \pm 2.131 işleminden (17.869,  22.131)(17.869,\; 22.131) olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hatalı güven aralığından örneklem ortalamasını (xˉ\bar{x}) hesaplayın.
xˉ=18.04+21.962=20.00\bar{x} = \frac{18.04 + 21.96}{2} = 20.00
Güven aralığının tam orta noktası her zaman nokta tahmin edici olan örneklem ortalamasını verir.
2
Hatalı Z aralığındaki marjinal hatayı (EzE_z) kullanarak örneklem standart sapmasını (SS) bulun.
Ez=21.96−20.00=1.96E_z = 21.96 - 20.00 = 1.96. Formül: 1.96=Z0.025×Sn⇒1.96=1.96×S4⇒S=41.96 = Z_{0.025} \times \frac{S}{\sqrt{n}} \Rightarrow 1.96 = 1.96 \times \frac{S}{4} \Rightarrow S = 4
Kitle varyansı bilinmese de uzman Z dağılımını kullandığı için Z×(S/n)Z \times (S/\sqrt{n}) denklemi üzerinden gerçek SS değerine ulaşılır.
3
Doğru dağılım olan T dağılımı için serbestlik derecesini (dfdf) ve kritik tablo değerini belirleyin.
df=n−1=16−1=15df = n - 1 = 16 - 1 = 15. %95\%95 güven düzeyi için çift yönlü risk α/2=0.025\alpha/2 = 0.025'tir. Doğru kritik değer: t15,0.025=2.131t_{15, 0.025} = 2.131
Kitle varyansı bilinmediğinde ve küçük örneklemlerde (n<30n < 30), n−1n-1 serbestlik dereceli Student-t dağılımı kullanılmalıdır.
4
Doğru marjinal hatayı (EtE_t) hesaplayıp aralığı oluşturun.
Et=2.131×416=2.131E_t = 2.131 \times \frac{4}{\sqrt{16}} = 2.131. Aralık: (20.00−2.131,  20.00+2.131)=(17.869,  22.131)(20.00 - 2.131,\; 20.00 + 2.131) = (17.869,\; 22.131)
Gerçek güven aralığı sınırları xˉ±Et\bar{x} \pm E_t formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kitle varyansı bilinmediğinde ortalama için T-dağılımı temelli aralık tahmini ve tersine mühendislik
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru