Bir tarım il müdürlüğünde seralardaki mahsul kalitesini olumsuz etkileyen üç farklı bitki … — KPSS İstatistik

Bir tarım il müdürlüğünde seralardaki mahsul kalitesini olumsuz etkileyen üç farklı bitki hastalığı ( $H_1$ , $H_2$ ve $H_3$ ) araştırılmaktadır. Bir serada bu hastalıkların görülme durumu sırasıyla $X$ , $Y$ ve $Z$ Bernoulli (gösterge) rastgele değişkenleriyle modellenmiştir ( $1$ : hastalık var, $0$ : hastalık yok).

Saha araştırmalarından elde edilen istatistiksel sonuçlar şöyledir:
- $H_1$ ve $H_2$ hastalıkları aynı serada eş zamanlı olarak hiç görülmemektedir (ayrık olaylar).
- $H_1$ ile $H_3$ ve $H_2$ ile $H_3$ hastalıklarının görülme durumları istatistiksel olarak birbirinden tamamen bağımsızdır.
- Her üç hastalığın da tek başına görülme olasılığı sıfırdan farklıdır ( $P(H_i) > 0, \text{ } i=1,2,3$ ).

Verilen bu modele göre, değişkenlerin olasılık ve kovaryans yapılarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$H_1$ ve $H_2$ olayları ayrık oldukları için $X$ ve $Y$ değişkenleri bağımsız değildir ve aralarındaki kovaryans negatiftir ( $\text{Cov}(X,Y) < 0$ ).Cevap
B
$H_1$ ve $H_2$ olayları ayrık (kesişimi boş küme) olduklarından istatistiksel olarak da bağımsızdırlar; bu nedenle $\text{Cov}(X,Y) = 0$ 'dır.
C
Sisteme eklenecek sürekli bir $T$ sıcaklık değişkeni ile $X$ arasındaki kovaryansın sıfır ( $\text{Cov}(X,T)=0$ ) çıkması, sıcaklık ile $H_1$ hastalığının kesinlikle bağımsız olduğunu kanıtlar.
D
$H_3$ hastalığının görüldüğü bilinen bir serada $H_1$ 'in de görülme olasılığı olan $P(H_1 \mid H_3)$ , koşullu olasılık tanımı gereği $\frac{P(H_1 \cap H_3)}{P(H_1)}$ formülüyle hesaplanır.
E
$X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin çarpımının beklenen değeri, değişkenlerin bağımlılık durumuna bakılmaksızın her zaman $E[X \cdot Y] = E[X] \cdot E[Y]$ eşitliğini sağlar.

Cevap

Ayrık (kesişimi olmayan) olaylar bağımsız değildir ve kovaryansları daima negatiftir ifadesi doğrudur.

Verilen senaryoda

H_1

H_2

olayları aynı anda gerçekleşemez (ayrıktır), dolayısıyla kesişimlerinin olasılığı sıfırdır. Bağımsızlık şartı olan

P(H_1 \cap H_2) = P(H_1)P(H_2)

denkleminin sağ tarafı iki pozitif sayının çarpımı olduğundan pozitif çıkar. Sol taraf sıfır, sağ taraf pozitif olduğundan eşitlik sağlanamaz ve olaylar istatistiksel olarak bağımlı kabul edilir. İndikatör değişkenler için kovaryans

\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - P(H_1)P(H_2)

olarak hesaplanır. Marjinal olasılıklar sıfırdan büyük olduğu için bu işlemin sonucu her zaman negatif olacaktır.

Adım Adım Çözüm

H_1

H_2

olaylarının kesişim olasılığını belirleme

H_1 \cap H_2 = \emptyset

olduğundan

P(H_1 \cap H_2) = 0

bulunur.

Soruda bu iki hastalığın eş zamanlı olarak hiç görülmediği, yani ayrık olaylar olduğu verilmiştir.

H_1

H_2

olaylarının istatistiksel bağımsızlığını test etme

P(H_1) > 0

P(H_2) > 0

olduğundan,

P(H_1)P(H_2) > 0

elde edilir.

0 \neq P(H_1)P(H_2)

olduğu için bu olaylar bağımlıdır.

Bağımsızlık tanımına göre iki olayın bağımsız olabilmesi için kesişimlerinin olasılığının, marjinal olasılıkların çarpımına eşit olması zorunludur.

X

Y

indikatör değişkenleri arasındaki kovaryansı hesaplama

\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = P(H_1 \cap H_2) - P(H_1)P(H_2) = 0 - P(H_1)P(H_2)

. Sonuç negatiftir.

İndikatör değişkenlerin çarpımının beklenen değeri, temsil ettikleri olayların kesişim olasılığına eşittir. Negatif sonuç, değişkenlerin ters yönde ilişkili (biri varken diğeri yok) olduğunu matematiksel olarak kanıtlar.

Anahtar Kavram

Ayrık Olaylar ve Bağımsızlık İlişkisi ile Kovaryans

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru