Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Tarım ve Orman Bakanlığı tarafından bir bölgedeki mısır üreticilerinin dekara aldıkları ortalama verimi (μ\mu) belirlemek amacıyla yapılan çalışmada, rastgele seçilen n=16n = 16 tarladan elde edilen örneklem ortalaması xˉ=500\bar{x} = 500 kg/dekar ve örneklem standart sapması s=40s = 40 kg/dekar olarak bulunmuştur. Verimin kitlede normal dağıldığı varsayıldığında, kitle ortalaması (μ\mu) için %95 düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (Not: z0,025=1,96z_{0,025} = 1,96; t15;0,025=2,131t_{15; 0,025} = 2,131; t16;0,025=2,120t_{16; 0,025} = 2,120)

  1. (478,69;  521,31)(478,69; \; 521,31)Cevap
  2. B
    (480,40;  519,60)(480,40; \; 519,60)
  3. C
    (478,80;  521,20)(478,80; \; 521,20)
  4. D
    (414,76;  585,24)(414,76; \; 585,24)
  5. E
    (494,67;  505,33)(494,67; \; 505,33)

Cevap

(478,69;  521,31)(478,69; \; 521,31) aralığı, kitle ortalaması için doğru %95 güven aralığıdır.
Verilen problemde kitle varyansı bilinmemekte ve örneklem hacmi (n=16n=16) küçüktür. Bu durumda güven aralığı hesaplanırken n−1=15n-1=15 serbestlik dereceli t-dağılımı kullanılmalıdır. İlgili kritik değer (t15;0,025=2,131t_{15; 0,025} = 2,131) ve standart hata (40/16=1040/\sqrt{16} = 10) çarpılarak elde edilen hata payı (21,3121,31), örneklem ortalamasına (500500) uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Parametreleri ve dağılım şartlarını belirleme
n=16n = 16, xˉ=500\bar{x} = 500, s=40s = 40, α=0,05\alpha = 0,05.
Kitle varyansı bilinmediği ve n<30n < 30 olduğu için n−1=15n-1 = 15 serbestlik dereceli t-dağılımı kullanılmalıdır.
2
Standart hatayı hesaplama
Sxˉ=sn=4016=10S_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{16}} = 10.
Güven aralığı genişliğini belirlemek için örnekleme dağılımının standart sapması (standart hata) gereklidir.
3
Hata payını (ME) hesaplama
ME=t15;0,025×Sxˉ=2,131×10=21,31ME = t_{15; 0,025} \times S_{\bar{x}} = 2,131 \times 10 = 21,31.
Seçilen güven düzeyindeki kritik değer ile standart hatanın çarpımı hata payını verir.
4
Güven aralığı sınırlarını oluşturma
500±21,31⇒(478,69;  521,31)500 \pm 21,31 \Rightarrow (478,69; \; 521,31).
Örneklem ortalamasına hata payı eklenip çıkarılarak aralık tahmini tamamlanır.

Anahtar Kavram

Küçük örneklemlerde (n<30n < 30) ve kitle varyansı bilinmediğinde, kitle ortalaması için güven aralığı oluşturulurken t-dağılımı (df=n−1df=n-1) kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Kitle varyansının bilindiği varsayımı altında aynı verilerle güven aralığının nasıl daralacağını karşılaştırınız.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru